Cho hình chữ nhật ABCD (AB > BC), kẻ BH ⊥ AC (H ∈ AC)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ chứng minh từng phần theo các bước đã đề ra:

1. **Chứng minh △AHB đồng dạng với △ABC:**
- Gọi góc A là góc giữa AB và AC, góc B là góc giữa AB và BC.
- Vì BH ⊥ AC nên góc AHB = góc ABC.
- Cũng có AH = AH (cạnh chung).
- Vì vậy, theo tiêu chí góc-góc-góc, chúng ta có △AHB ∼ △ABC.
- Từ đó suy ra tỉ số giữa các cạnh: \(\frac{AB}{AH} = \frac{AH}{AC}\).

2. **Kéo dài BH cắt tia AD tại K:**
- Gọi điểm K là giao điểm của BH và AD.
- Chúng ta chứng minh rằng \(AH \cdot AC = BH \cdot BK\) bằng cách sử dụng định lý tỉ số giữa các cạnh trong tam giác đồng dạng đã chứng minh.

3. **Chứng minh tan²∠DAC = \(\frac{AK}{AD}\):**
- Theo định nghĩa của tang, ta có: \(\tan(DAC) = \frac{h}{AD}\) (với h là chiều cao từ D hạ xuống AC).
- Từ các tỷ số đã thiết lập ở trên, ta có thể biểu diễn tan²∠DAC = \(\frac{AK}{AD}\) dựa trên các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán một cách logic và rõ ràng dựa vào tính chất của tam giác đồng dạng và các tỉ số cần thiết.