Chứngminh rằng p là số nguyên tố lớn hơn 5 thì P^20-1 chia hết cho 100

Để chứng minh rằng \( p^{20} - 1 \) chia hết cho 100 với \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 5, chúng ta sẽ sử dụng định lý số học và tính chia hết của số nguyên.

Ta biết rằng 100 có thể phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố:
\[
100 = 2^2 \times 5^2
\]
Chúng ta sẽ chứng minh rằng \( p^{20} - 1 \) chia hết cho cả \( 4 \) và \( 25 \).

### Bước 1: Chứng minh \( p^{20} - 1 \) chia hết cho 4

Với \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 5, ta biết rằng \( p \) là một số lẻ. Tất cả các số lẻ của dạng \( p \) sẽ cho kết quả là \( p \equiv 1 \) hoặc \( p \equiv 3 \mod 4 \). Trong cả hai trường hợp này, chúng ta có:

- Nếu \( p \equiv 1 \mod 4 \), thì \( p^{20} \equiv 1^{20} \equiv 1 \mod 4 \) và do đó \( p^{20} - 1 \equiv 0 \mod 4 \).
- Nếu \( p \equiv 3 \mod 4 \), thì \( p^{20} \equiv 3^{20} \equiv 1 \mod 4 \) (bởi vì \( 3^2 \equiv 1 \mod 4 \)) và do đó \( p^{20} - 1 \equiv 0 \mod 4 \).

Vậy \( p^{20} - 1 \) chia hết cho 4.

### Bước 2: Chứng minh \( p^{20} - 1 \) chia hết cho 25

Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ áp dụng định lý Fermat. Theo định lý Fermat, nếu \( p \) là số nguyên tố và \( a \) không chia hết cho \( p \), thì:
\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

Với \( p > 5 \), chúng ta có \( 20 \) là bội của \( 4 \) (vì \( p-1 \geq 4 \) cho mọi nguyên tố \( p > 5 \)).

Ta sẽ xem \( p \) modulo 25. Theo định nghĩa, \( p \) không thể là số chia hết cho 5 (vì tất cả số nguyên tố lớn hơn 5 đều khác với 5). Do đó, chúng ta xét hai trường hợp:

1. Nếu \( p \equiv 1 \mod 25 \):
\[
p^{20} \equiv 1^{20} \equiv 1 \mod 25 \Rightarrow p^{20} - 1 \equiv 0 \mod 25
\]

2. Nếu \( p \equiv 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24 \mod 25 \):
Sử dụng nguyên lý Euler, chúng ta có \( \phi(25) = 20 \), từ đó:
\[
p^{20} \equiv 1 \mod 25 \Rightarrow p^{20} - 1 \equiv 0 \mod 25
\]

### Kết luận

Từ Bước 1 và Bước 2, chúng ta thấy rằng \( p^{20} - 1 \) chia hết cho 4 và chia hết cho 25. Do đó, theo định lý số học, chúng ta có:
\[
p^{20} - 1 \equiv 0 \mod 100
\]
Vậy, \( p^{20} - 1 \) chia hết cho 100 với mọi số nguyên tố \( p > 5 \).