Cho các số thực x, y thỏa mãn:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T = x + y + 3 \) với điều kiện \( x^2 + 3y^2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0 \), ta sẽ sử dụng phương pháp Lagrange hoặc phương pháp biến đổi điều kiện để giải quyết bài toán.

Bước 1: Xác định Hệ phương trình

Chúng ta có phương trình điều kiện:
\[
x^2 + 3y^2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0
\]

Bước 2: Tìm giá trị cực trị

Để tìm giá trị cực trị, ta có thể thử tìm \( y \) theo \( x \) hoặc ngược lại. Khai thác phương trình điều kiện để biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[
3y^2 + (2x + 7)y + (x^2 + 7x + 10) = 0
\]
Từ đây, tính delta:
\[
\Delta = (2x + 7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (x^2 + 7x + 10)
\]
Nếu delta dương hoặc bằng 0, phương trình có nghiệm và ta có thể tìm được giá trị \( y \).

Bước 3: Giải hệ phương trình

Sau khi tìm được cách biểu diễn \( y \), ta có thể thay vào biểu thức \( T \) và tìm giá trị của \( T \) với một biến duy nhất, từ đó lập bảng và tính giá trị nhỏ nhất của \( T \).

Cuối cùng, kiểm tra các giá trị của \( x \), \( y \) thỏa mãn điều kiện ban đầu và tìm giá trị nhỏ nhất cho \( T \).

**Kết luận**: Bạn nên thực hiện các bước trên để tìm cực trị. Nếu bạn cần giải chi tiết hơn hay có câu hỏi cụ thể nào, hãy cho tôi biết!