Để giải bài toán bạn đã đưa ra, ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu.

### Bài 5:

1. **Đã cho**: Tam giác \( ABC \), với \( H \) là trực tâm tam giác. Đường tròn tâm \( O \) ngoài tiếp tam giác \( ABC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \).
2. **Điều cần chứng minh**: \( AH \parallel OM \) và \( AH = 2OM \).

**Chứng minh**:

- Đầu tiên, vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( AM \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \), vậy \( AM \parallel AB \) và \( AM = \frac{1}{2}AB \).
- Ta sẽ chứng minh rằng \( AH \parallel OM \) bằng cách chỉ ra rằng gốc \( A \) là một tứ giác (hoặc có thể tính các tỉ lệ).
- Sau khi tính toán độ dài \( AH \) và \( OM \) theo các tỉ lệ của tam giác, ta sẽ khẳng định được rằng \( AH = 2OM \).

### Bài 6:

1. **Đã cho**: Tam giác \( ABC \) nội tiếp đường tròn \( (O; R) \).
2. **Biết**: \( B, C \) cố định, \( A \) di động trên \( (O) \).
3. **Đặt**: \( H \) là trực tâm tam giác \( ABC \). Dùng hình thang \( BHC \) có \( K \) là điểm đối xứng của \( D \) qua \( O \).

**Câu a**: Chứng minh rằng \( AK \) đi qua một điểm cố định khi \( A \) thay đổi.

- Để chứng minh điều này, ta cần sử dụng các tính chất của trực tâm và các đường đối xứng trong hình thang. Có thể có điểm cố định mà \( AK \) luôn đi qua, thường có thể sử dụng các tính chất đối xứng của đường tròn và trực tâm.

**Câu b**: Chứng minh \( K \) thuộc một đường tròn cố định khi \( A \) thay đổi.

- Khi \( A \) di động trên vòng tròn, điểm \( K \) sẽ có tính chất đối xứng với \( D \), nên \( K \) sẽ nằm trên một đường tròn cố định, chính là đường tròn mà \( D \) là trung điểm của đoạn \( A-K \).

Điều này liên quan đến các định lý về các điểm cố định trong hình học.

### Tổng kết:
Hai bài toán đã chỉ ra tính chất của các đối tượng hình học trong tam giác và ảnh hưởng khi thay đổi một điểm trên đường tròn. Các chứng minh chi tiết có thể yêu cầu vẽ hình và sử dụng một số định lý hình học nâng cao.