Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
P = \frac{a^4 - 1}{2a^4 + 5},
\]

ta có thể sử dụng một số phương pháp như phân tích, đạo hàm hoặc tìm cực trị.

1. **Xét trường hợp \(a = 0\)**:
\[
P(0) = \frac{0^4 - 1}{2 \cdot 0^4 + 5} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}.
\]

2. **Xét trường hợp \(a = 1\)**:
\[
P(1) = \frac{1^4 - 1}{2 \cdot 1^4 + 5} = \frac{0}{2 + 5} = 0.
\]

3. **Xét trường hợp \(a \to \infty\)**:
Khi \(a\) lớn, biểu thức trở thành:
\[
P \approx \frac{a^4}{2a^4} = \frac{1}{2}.
\]

4. **Tìm cực trị bằng đạo hàm**:
Tính đạo hàm của \(P\) và giải phương trình \(P' = 0\) để tìm các giá trị của \(a\) có thể.

Từ những giá trị tính toán được, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \(P\) khi \(a = 0\) là \(-\frac{1}{5}\).

Kết luận, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là:
\[
P_{min} = -\frac{1}{5}.
\]