Để chứng minh rằng tứ giác \( AMON \) là hình thoi và xác định khoảng cách của điểm \( A \) từ điểm \( O \) để \( MN \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \), ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình thoi

1. **Tính chất tiếp tuyến**:
- Hai đoạn thẳng \( AB \) và \( AC \) là các tiếp tuyến với đường tròn \( (O) \), do đó \( OA \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \).
- Từ \( O \), ta có \( OA = OB = OC \) vì chúng đều là bán kính của đường tròn.

2. **Xét các tam giác**:
- Tam giác \( OAB \) vuông tại \( O \).
- Tam giác \( OAC \) vuông tại \( O \).
- Từ đó ta có \( AN = AM \) vì \( ON = OM \) là các đoạn vuông góc từ \( O \) đến \( AB \) và \( AC \).

3. **Kết luận về hình thoi**:
- Vì \( OA = OB = OC \) và \( AM = AN \), ta có \( AM = AN \) và \( OA = AB = AC \).
- Vậy \( AMON \) có cả bốn cạnh bằng nhau, nên \( AMON \) là hình thoi.

### b) Điểm A phải cách điểm O một khoảng bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O)

1. **Xét vuông góc**:
- Đoạn thẳng \( MN \) là đường vuông góc với bán kính \( OA \) tại điểm \( O \).
- Nếu \( MN \) là tiếp tuyến của đường tròn, thì phải có: \( OM \perp MN \) và \( ON \perp MN \).

2. **Sử dụng định lý Pythagorean**:
- Gọi \( d \) là khoảng cách từ điểm \( A \) đến điểm \( O \).
- Vì \( MO = ON \) là độ dài bán kính \( R \) của đường tròn, từ tam giác vuông \( OMA \):
\[
AM^2 = OA^2 - OM^2 \Rightarrow AM = \sqrt{d^2 - R^2}
\]

3. **Điều kiện tiếp tuyến**:
- Để \( MN \) là tiếp tuyến của \( (O) \), ta cần \( d \geq R \).
- Vậy, khoảng cách từ điểm \( A \) đến điểm \( O \) phải tối thiểu là \( R \):
\[
d = R
\]

### Kết luận
- Tứ giác \( AMON \) là hình thoi và khoảng cách của điểm \( A \) đến điểm \( O \) phải bằng chính bán kính \( R \) của đường tròn \( (O) \) để \( MN \) là tiếp tuyến của \( (O) \).