Giải phương trình sau: cos4x - 5sin2x - 4 = 0

Để giải phương trình \( \cos(4x) - 5\sin(2x) - 4 = 0 \), chúng ta bắt đầu bằng việc sử dụng một số công thức lượng giác.

Ta có:
\[
\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1
\]
Và do đó,
\[
\cos(4x) + 1 = 2\cos^2(2x)
\]
Thay vào phương trình, ta có:
\[
2\cos^2(2x) - 5\sin(2x) - 3 = 0
\]

Tiếp theo, thay \( y = \sin(2x) \). Sử dụng công thức \( \cos^2(2x) = 1 - \sin^2(2x) = 1 - y^2 \), ta có:
\[
2(1 - y^2) - 5y - 3 = 0
\]
Điều này dẫn đến:
\[
2 - 2y^2 - 5y - 3 = 0
\]
Hay là:
\[
-2y^2 - 5y - 1 = 0
\]
Nhân cả phương trình với -1 để dễ dàng hơn:
\[
2y^2 + 5y + 1 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc 2 \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}
\]
Ta có hai nghiệm:
\[
y_1 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{4}, \quad y_2 = \frac{-5 - \sqrt{17}}{4}
\]

Tiếp theo, ta cần kiểm tra nghiệm nào thỏa mãn yêu cầu \( -1 \leq y \leq 1 \).

1. Đối với \( y_1 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{4} \):
- Tính giá trị gần đúng:
\[
\sqrt{17} \approx 4.123 \quad \Rightarrow \quad y_1 \approx \frac{-5 + 4.123}{4} \approx \frac{-0.877}{4} \approx -0.219
\]
Giá trị này hợp lệ vì \( -1 \leq y_1 \leq 1 \).

2. Đối với \( y_2 = \frac{-5 - \sqrt{17}}{4} \):
- Tính giá trị gần đúng:
\[
y_2 \approx \frac{-5 - 4.123}{4} \approx \frac{-9.123}{4} \approx -2.281
\]
Giá trị này không hợp lệ vì nó nhỏ hơn -1.

Chỉ có nghiệm \( y_1 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{4} \) hợp lệ.

Bây giờ, ta thay lại \( y = \sin(2x) \) và giải \( \sin(2x) = \frac{-5 + \sqrt{17}}{4} \).

Chúng ta sẽ tìm \( 2x \):
\[
2x = \arcsin \left( \frac{-5 + \sqrt{17}}{4} \right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Và:
\[
2x = \pi - \arcsin \left( \frac{-5 + \sqrt{17}}{4} \right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Cuối cùng, chia cả hai vế cho 2 để tìm \( x \):
\[
x = \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{-5 + \sqrt{17}}{4} \right) + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{-5 + \sqrt{17}}{4} \right) + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Đó là nghiệm của phương trình đã cho.