Để chứng minh rằng \( BC = DE \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xét tam giác**: Ta có ba điểm \( B, C, D, E \) được tạo bởi cách dựng như đề bài. Cụ thể:
- \( AB = AD \) (do cách lựa chọn điểm B và D).
- \( BE = DC \) (do cách lựa chọn điểm E và C).

2. **Áp dụng định lý về tam giác**: Ta có hai tam giác:
- Tam giác \( ABE \) và tam giác \( ACD \).
- Từ tính chất: \( AB = AD \) và \( BE = DC \).

3. **Nguyên lý khuyếch tán**: Cả hai tam giác này có chung cạnh \( AC \) (vì như đã nêu là cùng chia sẻ điểm A) và có \(\angle xAy\) bằng nhau (vì chúng được tạo bởi cùng một góc).

4. **Đo đạc cạnh**: Theo định lý tam giác, nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau và góc kẹp giữa chúng bằng nhau, thì cạnh còn lại cũng bằng nhau.

5. **Kết luận**: Từ các chứng minh bên trên, ta có:
\[
BC = DE
\]

Vậy, đã chứng minh được rằng \( BC = DE \).