Để chứng minh rằng căn bậc hai của số 2 (ký hiệu là \(\sqrt{2}\)) là số vô tỉ, ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.

**Giả sử** rằng \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ. Theo định nghĩa, một số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số, tức là:

\[
\sqrt{2} = \frac{a}{b}
\]

trong đó \(a\) và \(b\) là các số nguyên, và \(b \neq 0\), và \(a\) và \(b\) không có ước chung nào khác ngoài 1 (điều này gọi là phân số tối giản).

Bình phương hai vế, ta có:

\[
2 = \frac{a^2}{b^2}
\]

Điều này dẫn đến:

\[
a^2 = 2b^2
\]

Từ phương trình này, ta có thể thấy rằng \(a^2\) là một số chẵn (bởi vì nó bằng 2 lần một số nguyên \(b^2\)). Nếu \(a^2\) là chẵn thì \(a\) cũng phải là chẵn (vì bình phương của một số lẻ luôn là lẻ). Do đó, ta có thể viết \(a\) dưới dạng:

\[
a = 2k
\]

với \(k\) là một số nguyên nào đó.

Thay giá trị của \(a\) vào phương trình \(a^2 = 2b^2\):

\[
(2k)^2 = 2b^2
\]

Sẽ biến thành:

\[
4k^2 = 2b^2
\]

Chia cả hai vế cho 2, ta có:

\[
2k^2 = b^2
\]

Tương tự, từ \(b^2\) chúng ta có thể thấy rằng \(b^2\) cũng là số chẵn, do đó \(b\) cũng là số chẵn.

Vậy, cả \(a\) và \(b\) đều là số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thuyết ban đầu rằng \(a\) và \(b\) không có ước chung nào ngoài 1. Điều này có nghĩa rằng giả thuyết rằng \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ là sai.

Vì vậy, ta kết luận rằng:

\[
\sqrt{2} \text{ là số vô tỉ.}
\]