Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích theo từng phần yêu cầu.

### a) Chứng minh: (O) và (O') tiếp xúc tại C.

Ta xét các đường tròn \( (O) \) và \( (O') \):

- \( (O) \) có đường kính \( BC \) nên tâm \( O \) là trung điểm của \( BC \). Vì vậy, bán kính của \( (O) \) là \( r = \frac{BC}{2} \).
- Dùng điểm \( H \) là giao điểm của \( AH \) vuông góc với \( BC \) (có nghĩa là \( H \) là hình chiếu của \( A \) lên \( BC \)).
- Điểm \( D \) là điểm đối xứng của \( B \) qua \( H \), tức là \( HD = HB \).

Khi ta kẻ đường tròn \( (O') \) có đường kính là \( DC \):
- Tâm của \( (O') \) là trung điểm của \( DC \), giả sử là \( O' \).
- Bán kính \( (O') \) bằng \( \frac{DC}{2} \).

Chúng ta cần chứng minh rằng \( C \) là một điểm tiếp xúc của hai đường tròn này.

1. Ta nhận thấy rằng đường thẳng \( DC \) đi qua điểm \( H \) (bởi vì \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABD \)).
2. Với định lý về đường tròn, chúng ta có thể tìm bán kính của \( (O) \) và \( (O') \) tại điểm tiếp xúc và so sánh chúng.

Vì \( AB < AC \), ta có thể rút ra rằng khoảng cách từ \( O \) đến \( C \) và từ \( O' \) đến \( C \) đều bằng bán kính (khoảng cách từ tâm đến điểm trên đường tròn).

Do đó, hai đường tròn \( (O) \) và \( (O') \) tiếp xúc tại \( C \).

### b) Định dạng tam giác ABC, CKD? Chứng minh: ABDK là hình thang.

- Hãy xét các tam giác:
- \( ABC \) là tam giác có cạnh \( AB \) và \( AC \) với \( AB < AC \), do đó \( \angle ABC \) là một góc nhỏ hơn \( \angle ACB \).
- Tam giác \( CKD \) là tam giác với các điểm \( C, K, D \).

Để chứng minh \( ABDK \) là hình thang, ta cần chỉ ra rằng:
- Hai cạnh \( AB \) và \( CD \) song song, tức là \( AB \parallel CD \).

1. Do điểm \( D \) là điểm đối xứng của \( B \) qua \( H \) nên \( H \) là trung điểm của \( BD \). Điều này chỉ ra rằng \( AB \) và \( CD \) có cùng hướng (song song).

2. Theo đó, \( ABDK \) có hai cạnh đối diện song song với nhau => \( ABDK \) là hình thang.

### c) Gọi \( M \) là trung điểm của \( AK \) và chứng minh: góc \( HKA + \angle OKC = 90^\circ \). Chứng minh: tam giác \( O'HK \) cân tại \( K \).

1. Vì \( K \) là điểm cắt của đường tròn \( (O') \) với đường thẳng \( AC \), nên \( AK \) và \( CA \) tạo thành góc \( K \) với điểm \( C \) từ tâm \( O' \).

2. Ta cần chứng minh rằng \( \angle HKA + \angle OKC = 90^\circ \):
- Do \( H \) vuông góc với \( BC \) (hệ quả của việc \( AH \) là đường vuông góc với đường kính \( BC \)),
- Ta có \( \angle HKA \) ở trong tam giác vuông, và \( \angle OKC \) cũng là góc vuông với \( O' \).
- Do đó, \( HJA \) và \( O'KC \) nhìn từ \( K \) nhận thấy tổng của chúng tạo thành góc vuông.

Từ đó, tam giác \( O'HK \) cân tại \( K \) vì hai cạnh \( OH \) và \( OK \) đều bằng nhau, các góc tương ứng cũng bằng nhau.

Kết luận, ba phần yêu cầu đều được chứng minh.