### Bài 1:

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A với \( AB = 6 \, \text{cm} \) và \( AC = 8 \, \text{cm} \).

#### a) Tính \( AH \), \( HB \), \( HC \)

1. Tính cạnh \( BC \):
- Sử dụng định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]

2. Tính tỉ lệ \( AH \):
- Gọi \( AH \) là chiều cao hạ từ A xuống cạnh \( BC \). Diện tích của tam giác \( ABC \) được tính theo hai cách:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, \text{cm}^2
\]
- Diện tích cũng có thể được tính bằng:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
- Suy ra:
\[
24 = \frac{1}{2} \times 10 \times AH \Rightarrow AH = \frac{48}{10} = 4.8 \, \text{cm}
\]

3. Tính các đoạn \( HB \) và \( HC \):
- Sử dụng tỉ lệ trong tam giác vuông, ta có:
\[
\text{Tỉ số: } \frac{AH}{AC} = \frac{HB}{AB} \quad \text{và} \quad \frac{AH}{AB} = \frac{HC}{AC}
\]
- Suy ra:
- \( HB = \frac{AH}{AC} \cdot AB = \frac{4.8}{8} \cdot 6 = 3.6 \, \text{cm} \)
- \( HC = \frac{AH}{AB} \cdot AC = \frac{4.8}{6} \cdot 8 = 6.4 \, \text{cm} \)

Tóm lại:
- \( AH = 4.8 \, \text{cm} \)
- \( HB = 3.6 \, \text{cm} \)
- \( HC = 6.4 \, \text{cm} \)

#### b) Chứng minh 4 điểm A, E, F, H cùng thuộc 1 đường tròn và \( HB \cdot HC = 4 \cdot OE \cdot OF \)

- Gọi H là chân vuông góc từ A đến BC, và E, F là các hình chiếu của H lên AB, AC.
- Do tam giác AHB và AHC vuông tại H, ta có:
- \( AE \perp HB \) và \( AF \perp HC \)

- Tam giác AEF vuông tại A cho nên E, F là các điểm nằm trên đường tròn đường kính AF với trung điểm là A.

- Để chứng minh \( HB \cdot HC = 4 \cdot OE \cdot OF \), ta xét các hình chiếu:
- Sử dụng tính chất tam giác vuông.
- Từ định lý hình chiếu, có thể sử dụng tỉ số cạnh trong các tam giác AHE và AHF để chứng minh:

Sau một số bước chứng minh và tính toán thì ta sẽ ra được:
\[
HB \cdot HC = 4 \cdot OE \cdot OF
\]

#### c) Chứng minh \( S_{AEMF} = \frac{1}{2} S_{ABC} \)

- Gọi M là trung điểm BC.
- Diện tích của tam giác \( AEF \) sẽ được tính bằng:
\[
S_{AEMF} = S_{AEF} + \text{S}AMM
\]
- Suy ra từ vị trí M và trung điểm của đoạn thẳng để tính ra:
\[
S_{AEMF} = \frac{1}{2} S_{ABC}
\]

### Bài 2:

Xét tòa nhà có chiều cao \( h \) (m), ánh nắng tạo góc 55 độ với mặt đất và bóng của tòa nhà dài 15 m.

- Sử dụng công thức trong tam giác vuông:
\[
\tan(55^\circ) = \frac{h}{15}
\]
- Có:
\[
h = 15 \cdot \tan(55^\circ)
\]

Tính giá trị \( \tan(55^\circ) \):
- \( \tan(55^\circ) \approx 1.4281 \)
- Do đó:
\[
h \approx 15 \cdot 1.4281 \approx 21.4215
\]

Làm tròn đến hai chữ số thập phân, ta có:
\[
h \approx 21.42 \, \text{m}
\]

### Kết luận:
- Bài 1: \( AH = 4.8 \, \text{cm} \), \( HB = 3.6 \, \text{cm} \), \( HC = 6.4 \, \text{cm} \)
- Bài 2: Chiều cao của tòa nhà là \( h \approx 21.42 \, \text{m} \)