Tính

Để tính tổng \(1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{63}\), trước hết ta nhận thấy rằng tổng này có thể được viết lại như sau:

\[
T = 1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{63} = 1 + \sum_{n=2}^{63} 2^n
\]

Bây giờ, ta sẽ tính tổng \(\sum_{n=2}^{63} 2^n\). Tổng này là một tổng của cấp số nhân với hằng số đầu tiên là \(2^2\) và tỉ lệ là \(2\).

Tổng của cấp số nhân có công thức tính là:

\[
\text{Tổng} = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Trong đó:
- \(a\) là hạng tử đầu tiên,
- \(q\) là tỉ lệ (trong trường hợp này là \(2\)),
- \(n\) là số hạng.

Hạng tử đầu tiên là \(a = 2^2 = 4\), và số hạng từ \(2\) đến \(63\) có tổng là \(62\). Vì vậy, \(n = 63 - 2 + 1 = 62\).

Áp dụng vào công thức:

\[
\sum_{n=2}^{63} 2^n = 4 \frac{2^{62} - 1}{2 - 1} = 4(2^{62} - 1) = 4 \times 2^{62} - 4
\]

Bây giờ, cộng thêm \(1\) vào tổng \(T\):

\[
T = 1 + (4 \times 2^{62} - 4) = 4 \times 2^{62} - 3
\]

Do đó, giá trị cuối cùng của biểu thức \(1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{63}\) là:

\[
T = 4 \times 2^{62} - 3
\]

Tóm lại:

\[
T = 4 \times 2^{62} - 3
\]