Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách logic và rõ ràng.

### a) Chứng minh tứ giác BEKO là hình bình hành

- Gọi \( A \) là đỉnh của tam giác vuông \( ABC \), với \( A \) là góc vuông. Giả sử \( AB = a \) và \( AC = b \). Gọi \( K \) là trung điểm của \( AC \), nên có \( AK = KC = \frac{b}{2} \).

- Từ điểm \( K \), ta vẽ đường thẳng song song với \( BC \) và cắt \( AB \) tại điểm \( E \). Theo tính chất của các đường thẳng song song, ta có:
- \( KE \parallel BC \)

- Từ điểm \( K \), ta vẽ đường thẳng song song với \( AB \) và cắt \( BC \) tại điểm \( O \):
- \( KO \parallel AB \)

- Để chứng minh \( BEKO \) là hình bình hành, ta sẽ xem xét các cạnh và các góc:

1. **Bằng nhau các cạnh**: Ta có:
- \( KE \parallel BC \) và \( KO \parallel AB \)

Do đó, hai cặp cạnh đối diện là dài như nhau. Từ đường thẳng song song, ta có:
- \( BE = KO \)
- \( EK = BO \) (vì các cạnh song song cắt nhau tạo thành cặp bù)

2. **Bằng nhau các góc**:
- Ta có góc \( \angle EKB = \angle KOB \) (các góc so le trong) và góc \( \angle EKB = \angle OBE \).

Do đó, từ việc có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và hai cặp góc đối diện bằng nhau, ta có thể kết luận rằng tứ giác \( BEKO \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh: góc \( AEK = \) góc \( KOC \) và \( EK = OC \)

1. **Chứng minh góc \( AEK = KOC \)**:

- Do \( KE \parallel BC \), ta có:
- \( \angle AEK + \angle AEB = 180^\circ \) (đường cắt hai đường thẳng song song)
- do đó, góc \( AEB = \angle ACB \) (góc ở cùng vị trí)

- Tương tự với \( KO \parallel AB \), ta có:
- \( \angle KOC + \angle OAB = 180^\circ \).

Vì \( \angle AEB + \angle OAB = 180^\circ \) và \( \angle AEB = \angle ACB \), ta suy ra:
- \( \angle AEK = \angle KOC \)

2. **Chứng minh \( EK = OC \)**:

- Ta có:
- \( KE \parallel BC \) và \( KO \parallel AB \), từ độ dài và khoảng cách giữa các cạnh song song, khi vẽ:
- Do \( K \) là trung điểm của \( AC \), tuyến tính của tứ giác sẽ cho \( EK = OC \) theo định lý về đoạn phân tuyến trong hình bình hành \( BEKO \) (điểm chia cạnh tỷ lệ).

Từ tất cả những điều đã nêu, ta kết luận được là:
- Góc \( AEK = KOC \) và \( EK = OC \).

Như vậy đã hoàn thành yêu cầu chứng minh của bài toán.