Để chứng minh 5 điểm \( A, D, M, H, E \) cùng nằm trên một đường tròn, ta làm theo các bước sau:

1. **Phân tích hình học**:
- Trong tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \), \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến cạnh \( BC \).
- Điểm \( M \) là điểm tùy ý trên cạnh \( BC \).
- \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \) (dựa theo định nghĩa).

2. **Tính chất của đường tròn**:
- Theo tính chất cạnh vuông góc, ta có thể chia mọi điểm thành các tam giác vuông và sử dụng tính chất của đường tròn.
- Các điểm \( D \) và \( E \) là giao điểm của đường vuông góc hạ từ \( M \) xuống \( AB \) và \( AC \) nên \( MD \) và \( ME \) đều vuông góc với các cạnh tương ứng.

3. **Sử dụng định lý về các điểm trên đường tròn**:
- Theo định lý, nếu một điểm nằm trên đường tròn thì góc đối diện với nó sẽ bằng \( 90^\circ \).
- Ta có hai tam giác vuông \( AMD \) và \( AME \):
- Do đó, \( \angle ADM = \angle AEM = 90^\circ \).
- Từ đó suy ra rằng điểm \( A \) nằm trên đường tròn đi qua các điểm \( D, M, E \).

4. **Điểm H**:
- Đường cao \( AH \) cũng tạo thành góc vuông với \( BC \).
- Vậy góc \( AHM \) cũng là góc vuông.

5. **Kết luận**:
- Sử dụng tính chất của các góc vuông trong các tam giác vuông, ta có thể khẳng định rằng các điểm \( A, D, M, H, E \) sẽ cùng nằm trên một đường tròn.

Chứng minh hoàn tất.