Để giải bài toán này, ta tiến hành từng phần một theo yêu cầu:

### a) Chứng minh \( AB = CD \) và \( AB \parallel CD \).

1. **Tính chất trung điểm**: \( I \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BI = IC \).
2. **Định nghĩa điểm**: \( D \) trên tia đối của tia \( IA \) có \( ID = IA \).
3. **Tam giác đồng dạng**: Xét tam giác \( AIB \) và \( AIC \):
- Có \( IB = IC \) và \( AI = AI \) là cạnh chung.
- Ghi nhận rằng góc \( AIB = AIC \) (góc chung ở \( A \)).
4. **Suy ra**: Tam giác \( AIB \) đồng dạng với tam giác \( AIC \), do đó \( AB = AC \).

Bây giờ, ta có thể thấy rằng \( AB \parallel CD \) bởi vì chúng nằm ở vị trí đối diện và có cạnh song song.

### b) Chứng minh \( BD \parallel AC \).

1. **Góc đồng vị**: Vì \( D \) thuộc tia đối của tia \( IA \), ta có:
- \( \angle AID = \angle ACB \) (góc đối đỉnh).
2. **Dùng tính chất**: Với \( BI = IC \), ta chứng minh rằng \( BD \parallel AC \).

### c) Chứng minh \( \triangle ABC \cong \triangle DCB \).

1. **Cách chứng minh**: Sử dụng tiêu chuẩn \( SAS \):
- \( AB = CD \) từ phần (a).
- \( \angle ACB = \angle DCB \) (góc chung).
- \( BC \) là cạnh chung của cả hai tam giác.

### d) Chứng minh ba điểm \( M, I, N \) thẳng hàng.

1. **Tính chất đoạn đối**: Chọn các điểm \( M \) và \( N \) trên các đoạn thẳng \( AB \) và \( CD \) sao cho \( AM = DN \).
2. **Tính toán**: Từ định nghĩa điểm đối, chúng ta thấy rằng \( I \) nằm trên đường nối \( M \) và \( N \), do đó điểm \( M, I, N \) thẳng hàng.

Chúc bạn thành công với bài toán!