Để giải bài toán này, ta thực hiện từng bước một theo yêu cầu của bài.

### a. Chứng minh tứ giác ADCB là hình bình hành:

- Gọi \( I \) là trung điểm của \( AC \).
- \( D \) là điểm sao cho \( I \) là trung điểm của \( BD \).

1. Vì \( I \) là trung điểm của \( AC \), nên:
\[
AI = IC
\]

2. Do \( I \) là trung điểm của \( BD \), ta có:
\[
BI = ID
\]

3. Xét các đoạn thẳng:
- Ta có \( AI = IC \) và \( BI = ID \).

4. Do tam giác \( AIB \) và \( CID \) có chung cạnh \( AI \) và \( BI = ID \), theo định nghĩa hình bình hành (hai cặp cạnh đối diện bằng nhau), ta suy ra:
\[
AC \parallel BD \quad \text{và} \quad AD \parallel BC
\]

=> **Vậy tứ giác ADCB là hình bình hành.**

### b. Dựng đường thẳng đi qua điểm D và song song với AC cắt BC tại điểm E. Chứng minh AE = BD:

1. Khi dựng đường thẳng qua \( D \) song song với \( AC \), ta ký hiệu giao điểm với \( BC \) là \( E \).
2. Trong tứ giác ADCB, ta đã chứng minh là hình bình hành, nên ta có \( AD \parallel BC \) và \( AB \parallel CD \).

3. Vì \( DE \) song song với \( AC \), từ đó suy ra \( E \) là điểm trên đường thẳng \( BC \).

4. Theo tính chất của hình bình hành \( ADCB \) trong đó \( AE \) và \( BD \) là hai đoạn thẳng đỉnh, ta có:
\[
AE = BD
\]

=> **Vậy AE = BD.**

### Kết luận:
- Tứ giác ADCB là hình bình hành và AE = BD theo các bước chứng minh trên.