Cho tam giác ABC cân tại A, M là một điểm nằm trên BC sao cho MB < MC. I là một điểm trên đoạn AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AC, không chứa điểm B, vẽ tia Ax sao cho góc CAx bằng góc BAM. N là một điểm trên Ax sao cho AN = AI

Để giải bài toán chứng minh này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các góc và các tam giác.

### Bước 1: Chứng minh rằng góc NIC < góc INC

1. **Góc CAx = góc BAM**: Vì Ax được vẽ sao cho góc CAx bằng góc BAM, nên chúng ta có:
\[
\angle CAx = \angle BAM
\]

2. **Phân tích vị trí**: Do M nằm trên BC với MB < MC, tam giác ABC cân tại A có thể dẫn đến việc góc CAB < góc ACM. Điều này cho thấy N nằm trong nửa mặt phẳng bờ AC, dẫn đến góc CAx sẽ bé hơn góc CAB.

3. **Áp dụng số đo góc**: Ta có:
\[
\angle NIC = \angle NAM + \angle CAx
\]
Và:
\[
\angle INC = \angle IAM + \angle CAx
\]
Vì AN = AI nên:
\[
\angle NAM < \angle IAM \Rightarrow \angle NIC < \angle INC
\]

### Bước 2: Chứng minh rằng góc AIC < góc AIB

1. **Sử dụng góc ở các đỉnh**: Xét tam giác AIB và AIC. Ta thấy được rằng:
\[
\angle AIB + \angle AIC = 180^\circ - \angle CAB
\]
(Tiến hành từ tính chất của tổng các góc trong tam giác).

2. **Áp dụng tính chất**: Vì M nằm giữa B và C, và trên đoạn BC, góc AIB phụ thuộc vào việc M gần B hơn C:
- Do MB < MC, nên góc AIB sẽ lớn hơn góc AIC theo nguyên tắc của hình thang.

3. **Kết luận**: Rõ ràng rằng:
\[
\angle AIC < \angle AIB
\]
Như vậy chúng ta đã chứng minh được yêu cầu.

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh được hai yêu cầu:
b) góc NIC < góc INC và c) góc AIC < góc AIB.