Cho hệ phương trình: 3x + my = 4 và x + y = 1 (với m là tham số). Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x < 0 ; y > 0

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm thỏa mãn \( x < 0 \) và \( y > 0 \):

\[
\begin{cases}
3x + my = 4 \quad (1) \\
x + y = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Chúng ta bắt đầu từ phương trình (2) để biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\[
y = 1 - x
\]

Tiếp theo, thay vào phương trình (1):

\[
3x + m(1 - x) = 4
\]

Giải phương trình trên:

\[
3x + m - mx = 4 \\
(3 - m)x + m = 4 \\
(3 - m)x = 4 - m
\]

Từ đây, ta có thể tìm \( x \):

\[
x = \frac{4 - m}{3 - m} \quad (3)
\]

Bây giờ, ta sẽ tính \( y \) từ \( x \):

\[
y = 1 - x = 1 - \frac{4 - m}{3 - m} = \frac{(3 - m) - (4 - m)}{3 - m} = \frac{-1}{3 - m} \quad (4)
\]

Để có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn \( x < 0 \) và \( y > 0 \):

1. **Điều kiện cho \( x < 0 \)**:
\[
\frac{4 - m}{3 - m} < 0
\]
Điều này xảy ra khi tử và mẫu có dấu trái ngược nhau. Phân tích hai trường hợp:
- Tử dương, mẫu âm: \( 4 - m > 0 \) và \( 3 - m < 0 \), dẫn đến \( m < 4 \) và \( m > 3 \) ⇒ \( 3 < m < 4 \).
- Tử âm, mẫu dương: \( 4 - m < 0 \) và \( 3 - m > 0 \), dẫn đến \( m > 4 \) và \( m < 3 \) ⇒ không có nghiệm.

Vậy từ điều kiện: \( 3 < m < 4 \).

2. **Điều kiện cho \( y > 0 \)**:
\[
\frac{-1}{3 - m} > 0
\]
Điều này xảy ra khi mẫu dương:
\[
3 - m > 0 \implies m < 3.
\]

Tóm lại, ta nên kết hợp cả hai điều kiện:

- \( 3 < m < 4 \) (điều kiện từ \( x < 0 \)).
- Đồng thời, \( m < 3 \) (điều kiện từ \( y > 0 \)).

Vì vậy, không tồn tại giá trị nào của \( m \) thỏa mãn cả hai điều kiện. Hệ phương trình không có nghiệm nào thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện \( x < 0 \) và \( y > 0 \) cho bất cứ giá trị nào của \( m \).