Để giải bài toán, chúng ta làm từng phần một:

### a) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

Tứ giác AEHF có các điểm E và F lần lượt nằm trên các cạnh AB và AC, với HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC. Do đó, AEHF là một hình chữ nhật.

**Lý do:**
- AE là cạnh trên và HE là một đường vuông góc từ E xuống AB.
- AF là cạnh bên và HF là một đường vuông góc từ F xuống AC.
- Các góc giữa các cạnh đều là 90 độ (góc vuông), nên AEHF là hình chữ nhật.

### b) Tính diện tích tam giác ABC và độ dài EF.

Đầu tiên, tính diện tích tam giác ABC. Tam giác ABC vuông tại A với chiều cao AH và độ dài các cạnh cho trước:

- AB = 6 cm (cạnh đáy)
- AC = 8 cm (cạnh cao)

Diện tích (S) của tam giác ABC được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2
\]

Tiếp theo, tính độ dài EF.

Đầu tiên tính độ dài AH, theo định lý Pythagore:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nó được tính bằng công thức:

\[
AH = \frac{S}{\frac{1}{2}BC} = \frac{24}{\frac{1}{2} \times 10} = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ cm}
\]

Bây giờ, để tìm độ dài EF, sử dụng định lý về diện tích tam giác cùng với AH. Từ tam giác vuông nhỏ AEF có chiều cao là AH và EF là đáy:

\[
S_{AEF} = \frac{1}{2} \times EF \times AH
\]

Nhưng vùng diện tích S không đổi. Áp dụng cùng một diện tích cho AEHF thì:

\[
S = S_{AEF}
\]
\[
24 = \frac{1}{2} \times EF \times AH \Rightarrow 24 = \frac{1}{2} \times EF \times 4.8
\]

Giải phương trình cho EF:

\[
48 = 4.8 \times EF \Rightarrow EF = \frac{48}{4.8} = 10 \text{ cm}
\]

### c) Chứng minh AOIK là hình bình hành và tam giác OMI cân.

Để chứng minh AOIK là hình bình hành:
- Hai cặp cạnh đối diện AO và IK đều song song.
- Đường thẳng EF cắt AH tại O.
- K là trung điểm của AC và EF cắt IK tại M.
- Các cạnh AO và IK song song (cùng vuông góc với BC, đường chéo từ O tới K).

Do đó, AOIK là hình bình hành.

Tiếp theo chứng minh tam giác OMI cân:
- OM và OI là các đoạn vuông góc với BC.
- Nếu F trên AC, tức là OG = OK (Vì G cách đều từ hai cạnh).
- Các đoạn OM và OI bằng nhau, do đó tam giác OMI cân.

### Kết luận
- Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
- Diện tích tam giác ABC là 24 cm² và độ dài EF là 10 cm.
- AOIK là hình bình hành và tam giác OMI cân.