Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta sẽ xác định số lượng chi tiết máy mà mỗi tổ sản xuất trong tháng đầu tiên.

Gọi số chi tiết máy của tổ 1 trong tháng thứ nhất là \( x \) và số chi tiết máy của tổ 2 là \( y \). Ta có:

\[
x + y = 750
\]

Trong tháng thứ hai, số chi tiết máy mà tổ 1 và tổ 2 sản xuất lần lượt là:

- Tổ 1: \( x + 0.15x = 1.15x \)
- Tổ 2: \( y + 0.10y = 1.10y \)

Tổng sản lượng của cả hai tổ trong tháng thứ 2 là 845 chi tiết máy, nên ta có:

\[
1.15x + 1.10y = 845
\]

Bây giờ chúng ta có một hệ phương trình gồm hai phương trình:

1. \( x + y = 750 \)
2. \( 1.15x + 1.10y = 845 \)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\[
y = 750 - x
\]

Thay giá trị của \( y \) vào phương trình (2):

\[
1.15x + 1.10(750 - x) = 845
\]

Giải phương trình này:

\[
1.15x + 825 - 1.10x = 845
\]

Kết hợp các hạng tử:

\[
0.05x + 825 = 845
\]

\[
0.05x = 845 - 825
\]

\[
0.05x = 20
\]

\[
x = \frac{20}{0.05} = 400
\]

Vậy, số chi tiết máy của tổ 1 trong tháng thứ nhất là \( 400 \). Bây giờ ta thay giá trị \( x \) vào phương trình (1) để tìm \( y \):

\[
y = 750 - 400 = 350
\]

Vậy, số chi tiết máy của tổ 2 trong tháng thứ nhất là \( 350 \).

Cuối cùng, kết quả là: Trong tháng thứ nhất, tổ 1 sản xuất 400 chi tiết máy và tổ 2 sản xuất 350 chi tiết máy.