Để giải bài toán này, ta có các thông tin sau:

- Đường tròn \( O \) có bán kính \( OA = 3 \) cm.
- Dây \( BC \) là một dây của đường tròn, vuông góc với \( OA \) tại trung điểm của \( OA \).

**Bước 1:** Tính độ dài đoạn \( OA \).
- \( OA = 3 \) cm.

**Bước 2:** Tính độ dài đoạn \( OC \) (đường kính).
- Đoạn \( OA \) là bán kính, đường kính \( OT \) sẽ gấp đôi bán kính:
\[
OT = 2 \times OA = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}.
\]

**Bước 3:** Tính độ dài dây \( BC \).
- Để tính độ dài dây \( BC \), ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( OAC \), trong đó \( OC \) là đường kính, và \( OA \) là bán kính. Bán kính \( OB \) cũng là \( 3 \) cm.

Vì \( BC \) vuông góc với \( OA \) tại trung điểm của \( OA \), nên:
\[
AC = \sqrt{OC^2 - OA^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 3^2}.
\]
Tính toán chi tiết:
1. \( OC = \sqrt{(3\sqrt{3})^2} = 3\sqrt{3} \).
2. \( OA = 3 \).
3. Tính:
\[
AC = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 3^2} = \sqrt{27 - 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.
\]

**Bước 4:** Độ dài dây \( BC = 2 \times AC = 2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) cm.

Vậy độ dài dây \( BC \) là \( 6\sqrt{2} \) cm.