Để chứng minh OA = OC, và từ đó suy ra A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn, ta làm như sau:

1. **Chứng minh OA = OC:**

Trong tứ giác ABCD, có \( \angle DAB = 90^\circ \) và \( \angle BCD = 90^\circ \). Điều này cho thấy rằng O là trung điểm của đoạn thẳng BD.

Do đó, đoạn thẳng OA vuông góc với đoạn thẳng AB và đoạn thẳng OC vuông góc với đoạn thẳng BC. Theo định lý trong hình học, đoạn thẳng góc vuông từ một điểm ra ngoài đoạn thẳng sẽ có độ dài bằng nhau đến các chân vuông góc.

Do đó, ta có:
\[
OA = OC.
\]

2. **Chứng minh OA = OB = OC = OD:**

Với O là trung điểm của BD, ta có:
- Từ đoạn thẳng OA và OB: Vì O nằm trên đường chéo BD chia đoạn BD thành hai phần bằng nhau, nên OA = OB.
- Tương tự, từ đoạn thẳng OC và OD: Vì O là trung điểm của các đoạn thẳng OC và OD nên OC = OD.

Từ đó, ta có:
\[
OA = OB = OC = OD.
\]

3. **Suy ra A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn:**

Do OA, OB, OC, OD đều bằng nhau, suy ra các điểm A, B, C, D đều cách đều điểm O. Theo định nghĩa của đường tròn, tất cả các điểm đều nằm trên cùng một đường tròn có tâm là O và bán kính bằng OA (hoặc OB, OC, OD).

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Kết luận: Tứ giác ABCD là một tứ giác có thể vẽ được trong một đường tròn với tâm O.