Để tính các cạnh và các góc của tam giác ABC vuông tại A, với đường cao AH, và các đoạn đường BH = 4 cm và CH = 9 cm, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và định lý Pytago.

1. **Tìm cạnh AB và AC:**

Theo định lý Pytago trong tam giác vuông AHB, ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]

Theo định lý Pytago trong tam giác AHC, ta có:
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]

Gọi AH = h, AB = c, AC = b:

Từ BH và CH, ta biết rằng:
\[
AH = \sqrt{BH \cdot CH} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}.
\]

Do đó:
\[
BH = 4 \text{ cm} \quad \text{và} \quad CH = 9 \text{ cm}.
\]

2. **Tính cạnh AB = c và AC = b:**

Thay h vào công thức trên:

- Đối với AB:
\[
AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \text{ cm.}
\]

- Đối với AC:
\[
AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \text{ cm.}
\]

3. **Tính độ dài cạnh BC:**

Ta cần tính độ dài cạnh BC, theo định lý Pytago thì:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2.
\]
Dễ dàng tính được:
\[
BC^2 = (2\sqrt{13})^2 + (3\sqrt{13})^2 = 4 \cdot 13 + 9 \cdot 13 = 52 + 117 = 169 \Rightarrow BC = \sqrt{169} = 13 \text{ cm.}
\]

4. **Tính các góc của tam giác:**

- Tính góc A:
\[
\tan A = \frac{AH}{BH} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.
\]
Góc A = arctan(\(1.5\)).

- Tính góc B:
\[
\tan B = \frac{AH}{CH} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.
\]
Góc B = arctan(\(0.6667\)).

- Góc C:
Góc C = \(90^\circ - A - B\).

Sau khi tính toán, tổng kết lại:
- Cạnh AB = \(2\sqrt{13}\) cm,
- Cạnh AC = \(3\sqrt{13}\) cm,
- Cạnh BC = \(13\) cm,
- Góc A = arctan(\(1.5\)),
- Góc B = arctan(\(0.6667\)),
- Góc C = \(90^\circ\).

Bạn có thể tính giá trị số cụ thể cho góc A và B nếu cần.