Cho đa thức \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) \( (a, b, c \in \mathbb{R}) \). Chứng tỏ rằng: nếu \( f(x) \) chia cho \( (x + 1) \) mà dư \(-2\) Thì \( f(x) = f(-1) \) (tức là \( f(-1) \) cũng dư \(-2\))

Để chứng minh rằng \( f(-1) \) cũng dư \(-2\) khi \( f(x) \) chia cho \( (x+1) \) mà dư \(-2\), ta thực hiện như sau:

Theo định lý dư, nếu một đa thức \( f(x) \) chia cho \( (x + 1) \), thì phần dư là \( f(-1) \).

Nếu \( f(x) \) chia cho \( (x + 1) \) mà dư \(-2\), tức là:

\[
f(-1) = -2
\]

Do đó, ta có thể viết lại dạng tổng quát của \( f(x) \) như sau:

\[
f(x) = (x + 1)q(x) - 2
\]

trong đó \( q(x) \) là một đa thức nào đó. Khi \( x = -1 \), ta có:

\[
f(-1) = (-1 + 1)q(-1) - 2 = 0 \cdot q(-1) - 2 = -2
\]

Vì vậy, từ điều kiện \( f(x) \) chia cho \( (x+1) \) mà dư \(-2\), ta suy ra rằng:

\[
f(-1) = -2
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( f(-1) \) cũng dư \(-2\).

Chốt lại, khi \( f(x) \) chia cho \( (x + 1) \) mà dư \(-2\), thì khẳng định \( f(-1) = -2 \) đúng là đúng.