Để xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ cơ sở của các hàm số đã cho, ta phân tích từng hàm số như sau:

### a) \( f(x) = \cos\left(\frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right) \)
Hàm \( \cos \) là hàm tuần hoàn với chu kỳ cơ sở \( 2\pi \). Tuy nhiên, trong hàm này có sự biến đổi phức tạp do chứa thành phần \( \cos\left(\frac{x}{2}\right) \).

- Nhấn mạnh rằng \( \frac{x}{2} \) có chu kỳ là \( 4\pi \) (từ hàm \( \cos\)).
- Điều đó có nghĩa là \( \frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) \) cũng tuần hoàn với chu kỳ \( 4\pi \).
- Do đó, \( f(x) \) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là \( 4\pi \).

### b) \( y = \cos x + \cos(\sqrt{3}x) \)
- Hàm \( \cos x \) có chu kỳ cơ sở là \( 2\pi \).
- Hàm \( \cos(\sqrt{3}x) \) có chu kỳ cơ sở là \( \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \).

Để tìm chu kỳ chung \( T \), ta cần tìm bội chung nhỏ nhất của hai chu kỳ này:
- \( T_1 = 2\pi \)
- \( T_2 = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \)

Tính bội chung nhỏ nhất, ta đặt:
\[
T = k \cdot 2\pi = m \cdot \frac{2\pi}{\sqrt{3}}
\]
Giải ra sẽ cho kết quả chu kỳ cơ sở là \( 2\pi\sqrt{3} \).

### c) \( f(x) = \sin\left(x^2\right) \)
Hàm này không tuần hoàn vì biến \( x^2 \) không tạo ra sự lặp lại của giá trị hàm số.

### d) \( y = \tan\sqrt{x} \)
Hàm \( \tan \) có chu kỳ là \( \pi \), nhưng với biến đổi \( \sqrt{x} \), hàm này không tuần hoàn. Hàm tangent sẽ không lặp lại giá trị của nó qua trục \( x \) do sự tăng trưởng của \( \sqrt{x} \).

### Kết luận
- **a)** Chu kỳ cơ sở: \( 4\pi \)
- **b)** Chu kỳ cơ sở: \( 2\pi\sqrt{3} \)
- **c)** Không tuần hoàn.
- **d)** Không tuần hoàn.