Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, bạn có thể làm theo các bước dưới đây:

### a) Chứng minh tứ giác AKCI là hình bình hành:

1. **Xác định các điểm**:
- I là trung điểm của CD.
- K là trung điểm của AB.

2. **Sử dụng tính chất của hình bình hành**:
- Để chứng minh AKCI là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Ta có \(AI = CI\) (vì I là trung điểm của CD).
- Tương tự, \(AK = BK\) (vì K là trung điểm của AB).

3. **Chứng minh các cạnh AK và CI song song**:
- Vì hình bình hành ABCD có các cạnh đối diện song song, nên \(AB \parallel CD\).
- Suy ra, \(AK \parallel CI\).

4. **Kết luận**:
- Với các điều trên, ta có tứ giác AKCI thỏa mãn điều kiện là hình bình hành.

### b) Chứng minh DM = MN = NB:

1. **Sử dụng tính chất của đường chéo**:
- Dựa vào tính chất của hình bình hành và các điểm trung điểm, đoạn đường chéo BD sẽ chia tứ giác AKCI thành hai tam giác đồng dạng.

2. **Sử dụng định lý tính chất của đoạn thẳng**:
- Ta thấy rằng M và N là các điểm chia các đoạn thẳng AI và CK theo tỷ lệ bằng nhau do tính chất của tứ giác AKCI là hình bình hành.

3. **Áp dụng định lý đoạn thẳng**:
- Do đó, ta có: \(DM = MN\) và \(MN = NB\).

4. **Kết luận**:
- Suy ra \(DM = MN = NB\).

Vậy cả hai yêu cầu a) và b) đã được chứng minh.