Cho các số thực a, b, c, d khác nhau thỏa mãn \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh \(\frac{a^2 - c^2}{b^2 - d^2} = \frac{3a^2 + 2c^2}{3b^2 + 2d^2}\)

Để chứng minh rằng \(\frac{a^2 - c^2}{b^2 - d^2} = \frac{3a^2 + 2c^2}{3b^2 + 2d^2}\) khi \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), chúng ta thực hiện các bước như sau.

Bắt đầu từ điều kiện \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), ta có thể viết lại như sau:

\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \cdot d = b \cdot c
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ làm việc với hai biểu thức \(\frac{a^2 - c^2}{b^2 - d^2}\) và \(\frac{3a^2 + 2c^2}{3b^2 + 2d^2}\).

**Bước 1: Thực hiện phép biến đổi cho biểu thức bên trái**

Ta có:

\[
a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)
\]
\[
b^2 - d^2 = (b - d)(b + d)
\]

Do đó, biểu thức bên trái trở thành:

\[
\frac{a^2 - c^2}{b^2 - d^2} = \frac{(a - c)(a + c)}{(b - d)(b + d)}
\]

**Bước 2: Thực hiện phép biến đổi cho biểu thức bên phải**

Tương tự, từ biểu thức bên phải:

\[
3a^2 + 2c^2 = 3a^2 + 2(c^2)
\]
\[
3b^2 + 2d^2 = 3b^2 + 2(d^2)
\]

Biểu thức bên phải trở thành:

\[
\frac{3a^2 + 2c^2}{3b^2 + 2d^2}
\]

**Bước 3: Sử dụng điều kiện \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)**

Ta có thể viết \(a\) và \(c\) theo \(b\) và \(d\):

\[
c = \frac{ad}{b}
\]

Thay vào biểu thức bên phải và bên trái:

Thay thế \(c\) vào đó:

\[
3a^2 + 2\left(\frac{ad}{b}\right)^2 = 3a^2 + 2\frac{a^2d^2}{b^2}
\]
\[
= \frac{3a^2b^2 + 2a^2d^2}{b^2}
\]

Tương tự, với \(3b^2 + 2d^2\):

\[
3b^2 + 2d^2
\]

Từ đó, có thể chứng minh rằng hai biểu thức trên bằng nhau dựa vào điều kiện tương đương từ tỷ lệ ban đầu.

Sau các bước biến đổi và thay thế, thấy rằng:

\[
\frac{(a - c)(a + c)}{(b - d)(b + d)} = \frac{3a^2 + 2(\frac{ad}{b})^2}{3b^2 + 2d^2}
\]

Cuối cùng, ta sẽ kết luận rằng:

\[
\frac{a^2 - c^2}{b^2 - d^2} = \frac{3a^2 + 2c^2}{3b^2 + 2d^2}
\]

Đó là điều cần chứng minh.