Để giải các phương trình đã cho, ta thực hiện từng bài một:

### 1) \((1+x^2)^{2} = -(x-1)^{2}\)

Phương trình không có nghiệm vì bên trái luôn dương trong khi bên phải luôn không dương.

### 2) \((3x+1)^{2} - (2x+3)^{2} = 0\)

Áp dụng công thức hạ bậc:
\[
(3x+1 + 2x+3)(3x+1 - (2x+3)) = 0
\]
Từ đó suy ra:
\[
5x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{5}
\]
\[
x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2
\]
Nghiệm là \(x = -\frac{4}{5}\) và \(x = 2\).

### 3) \((5x-4)^{2} - (3x-2)^{2} = 0\)

Áp dụng công thức hạ bậc:
\[
(5x-4 + 3x-2)(5x-4 - (3x-2)) = 0
\]
Từ đó suy ra:
\[
8x - 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4}
\]
\[
2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1
\]
Nghiệm là \(x = \frac{3}{4}\) và \(x = 1\).

### 4) \((x-2)^{2} = (3x+5)^{2}\)

Mở rộng và giải:
\[
(x - 2 - (3x + 5))(x - 2 + (3x + 5)) = 0
\]
Suy ra:
\[
-2x - 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{2}
\]
\[
4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}
\]
Nghiệm là \(x = -\frac{7}{2}\) và \(x = -\frac{3}{4}\).

### 5) \((x-3)^{2} = (3x-2)^{2}\)

Mở rộng và giải:
\[
(x - 3 - (3x - 2))(x - 3 + (3x - 2)) = 0
\]
Suy ra:
\[
-2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}
\]
\[
4x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{4}
\]
Nghiệm là \(x = -\frac{1}{2}\) và \(x = \frac{5}{4}\).

### 6) \((2x+7)^{2} = (x+3)^{2}\)

Mở rộng và giải:
\[
(2x + 7 - (x + 3))(2x + 7 + (x + 3)) = 0
\]
Suy ra:
\[
x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4
\]
\[
3x + 10 = 0 \Rightarrow x = -\frac{10}{3}
\]
Nghiệm là \(x = -4\) và \(x = -\frac{10}{3}\).

### 7) \((6-9x)^{2} = (5x-7)^{2}\)

Giải tương tự, ta có:
\[
1x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1
\]
\[
x = \frac{1}{2}
\]
Nghiệm là \(x = -1\) và \(x = \frac{1}{2}\).

### 8) \((4x-6)^{2} = (6+4x)^{2}\)

Giải tương tự, ta có:
\[
-2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2
\]
\[
8x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
\]
Nghiệm là \(x = 2\) và \(x = \frac{1}{2}\).

### 9) \((13x-7)^{2} = (3x-4)^{2}\)

Giải tương tự, ta có:
\[
0 = -3x + 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}
\]
Nghiệm là \(x = \frac{2}{3}\).

Tóm lại, các nghiệm của các phương trình là:
1. Không có nghiệm.
2. \(x = -\frac{4}{5}, 2\)
3. \(x = \frac{3}{4}, 1\)
4. \(x = -\frac{7}{2}, -\frac{3}{4}\)
5. \(x = -\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\)
6. \(x = -4, -\frac{10}{3}\)
7. \(x = -1, \frac{1}{2}\)
8. \(x = 2, \frac{1}{2}\)
9. \(x = \frac{2}{3}\)