Để tính số phần tử của tập hợp \( M \) các số tự nhiên có năm chữ số phân biệt và không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Chia các chữ số:**
- Các chữ số 0, 2, 4, 6, 8 là các chữ số chẵn (5 chữ số).
- Các chữ số 1, 3, 5, 7, 9 là các chữ số lẻ (5 chữ số).

2. **Sự phân bố:**
- Nếu ký tự đầu tiên là chẵn, thì chúng ta sẽ có: chẵn, lẻ, chẵn, lẻ, chẵn (tổng cộng là 3 chẵn và 2 lẻ).
- Nếu ký tự đầu tiên là lẻ, ta sẽ có: lẻ, chẵn, lẻ, chẵn, lẻ (tổng cộng là 3 lẻ và 2 chẵn).

Ta sẽ xét cả hai trường hợp.

### Trường hợp 1: Số bắt đầu bằng số lẻ

- Chọn 3 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ: \( \binom{5}{3} \) cách.
- Chọn 2 chữ số chẵn từ 5 chữ số chẵn: \( \binom{5}{2} \) cách.
- Sắp xếp các chữ số theo thứ tự (lẻ, chẵn, lẻ, chẵn, lẻ): Các chữ số có thể sắp xếp theo \( 5! \) cách.

### Tính toán cho trường hợp 1:
\[
\text{Số cách} = \binom{5}{3} \cdot \binom{5}{2} \cdot 5! = 10 \cdot 10 \cdot 120 = 12000
\]

### Trường hợp 2: Số bắt đầu bằng số chẵn

- Chọn 2 chữ số chẵn từ 5 chữ số chẵn: \( \binom{5}{2} \) cách.
- Chọn 3 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ: \( \binom{5}{3} \) cách.
- Sắp xếp các chữ số theo thứ tự (chẵn, lẻ, chẵn, lẻ, lẻ): Các chữ số cũng có thể sắp xếp theo \( 5! \) cách.

### Tính toán cho trường hợp 2:
\[
\text{Số cách} = \binom{5}{2} \cdot \binom{5}{3} \cdot 5! = 10 \cdot 10 \cdot 120 = 12000
\]

### Tổng số phần tử của tập hợp \( M \):
\[
\text{Tổng số phần tử} = 12000 + 12000 = 24000
\]

Vậy, số phần tử của tập hợp \( M \) là \( \boxed{24000} \).