Giải phương trình: sin 2x + 4cos 2x = 2 + sin 4x

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải từng phần.

### a) Giải phương trình:
\[ \sin 2x + 4\cos 2x = 2 + \sin 4x \]

Ta có thể sử dụng công thức biến đổi các hàm lượng giác. Bắt đầu từ bên phải, ta biết rằng:
\[ \sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x \]

Thay vào phương trình:
\[ \sin 2x + 4\cos 2x = 2 + 2\sin 2x \cos 2x \]

Ta đưa các thành phần lên một phía:
\[ \sin 2x - 2\sin 2x \cos 2x + 4\cos 2x - 2 = 0 \]

Gom nhóm lại:
\[ \sin 2x(1 - 2\cos 2x) + 4\cos 2x - 2 = 0 \]

Để uốn nắn phương trình, có thể thay \( t = \sin 2x \) và \( u = \cos 2x\), nhớ rằng \( t^2 + u^2 = 1 \).

Tiếp theo, ta có thể đơn giản hóa và tìm nghiệm cho \( x \).

### b) Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2^{x-1}-2^{y} = \log_2(y+1) - \log_2 x \\
\sqrt{5x^3 - 1} + \sqrt{2y + 1} + y = 3
\end{cases}
\]

**Phương trình đầu tiên:**
Ta biến đổi phương trình đầu tiên:
\[ 2^{x-1} - 2^y + \log_2 x = \log_2(y + 1) \]

Thử tìm nghiệm bằng các giá trị cụ thể cho \( x \) và \( y \).

**Phương trình thứ hai:**
\[ \sqrt{5x^3 - 1} + \sqrt{2y + 1} + y = 3 \]

Từ phương trình thứ hai, có thể đặt \( y \) tùy ý và tìm \( x \).

Khi đã có những giá trị khả thi cho \( x \) và \( y \), ta kiểm tra xem chúng có thỏa mãn cả hai phương trình hay không.

### Tổng kết
Bài toán yêu cầu phải làm nhiều bước để giải từ từng phần và tìm nghiệm cho \( x \) và \( y \). Bạn có thể thử phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng nếu cần thiết.