Cho hàm số \( y = 2x^3 + 3mx^2 + 1 \) có đồ thị là \( (C_m) \) (m là tham số) và đường tròn tâm \( I \) có phương trình:

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng phần:

### a) Tìm tất cả các giá trị của tham số \( m \) để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \).

Đầu tiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( y = 2x^3 + 3mx^2 + 1 \) để kiểm tra tính đồng biến:

\[
y' = \frac{dy}{dx} = 6x^2 + 6mx
\]

Để hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \), thì \( y' \geq 0 \) với mọi \( x < -1 \).

Xét \( y' \):

\[
y' = 6x^2 + 6mx = 6x(x + m)
\]

Ta có hai nhân tố: \( 6x \) và \( (x + m) \).

- Khi \( x < -1 \), thì \( 6x < 0 \).
- Để \( y' \geq 0 \), thì \( x + m \) cũng phải \( \leq 0 \) (để tích luôn không âm).

Điều này có nghĩa là:

\[
x + m \leq 0 \Rightarrow m \leq -1 \quad (với \, x = -1)
\]

Do đó, \( m \leq -1 \).

### b) Trường hợp \( (C_m) \) có cực trị.

Hàm số \( y \) có cực trị khi \( y' = 0 \):

\[
6x(x + m) = 0
\]

Ta có hai nghiệm:

1. \( x = 0 \)
2. \( x + m = 0 \Rightarrow x = -m \)

Ta cần tìm đỉnh của đồ thị với \( m \) chưa được xác định. Để xác định cực trị, ta cần \( x = -m \) thuộc đoạn thẳng \( \Delta \) qua các cực trị của \( (C_m) \).

Giá trị \( m \) cho phép sẽ phụ thuộc vào các giá trị mà \( -m \) đạt được. Để có cực trị, \( m \) cần thỏa mãn nào đó điều kiện về biên giới mà đỉnh phải nằm trong khoảng xác định.

Tiếp theo, ta cần tìm giá trị \( m \) sao cho \( MA, MB \) có góc \( \angle AMB = 60^\circ \), với \( A \), \( B \) là các tiếp điểm.

Để giải quyết hệ hình học này, ta cần sử dụng một phương pháp về lượng giác hoặc phương pháp hình học để xét vị trí của \( M \) so với điểm \( I \) (tâm của đường tròn).

Tổng kết lại, để đảm bảo đột biến và thực hiện tính toán, các giá trị cụ thể của \( m \) cần thỏa mãn xung quanh thông tin đã cho và các khoảng thời gian biến thiên.

Lưu ý: Các bài toán cụ thể có thể yêu cầu lập thêm các phương trình và khảo sát cụ thể hơn để đạt được những giá trị chính xác hoặc quyết định các điểm cần thiết cho xu hướng hình học của nó.