Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = (x-1)^{2}(x-2) \) và \( f(1) = 1 \)

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước:

1. **Tìm hàm số \( f(x) \)** từ đạo hàm \( f'(x) \) đã cho:
\[
f'(x) = (x-1)^{2}(x-2)
\]
Để tìm \( f(x) \), ta sẽ tích phân \( f'(x) \):
\[
f(x) = \int (x-1)^{2}(x-2) \, dx
\]

Áp dụng phép nhân và phân tích:
\[
(x-1)^{2}(x-2) = (x^2 - 2x + 1)(x - 2) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2
\]
Khoảng tích phân:
\[
f(x) = \int (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 2x + C
\]

2. **Áp dụng điều kiện \( f(1) = 1 \)** để tìm hằng số \( C \):
\[
f(1) = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{5}{2} - 2 + C = 1
\]
Tính giá trị:
\[
f(1) = \frac{1}{4} - \frac{16}{12} + \frac{30}{12} - \frac{24}{12} + C = 1
\]
\[
f(1) = \frac{1 + 30 - 16 - 24}{12} + C = 1 \Rightarrow \frac{-9}{12} + C = 1 \Rightarrow C = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}
\]
Vậy:
\[
f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 2x + \frac{7}{4}
\]

3. **Xét hàm số \( g(x) = f(2x+1) + 4x^2 + 4 \)**:
Trước tiên tính \( f(2x + 1) \):
\[
f(2x + 1) = \frac{(2x + 1)^4}{4} - \frac{4(2x + 1)^3}{3} + \frac{5(2x + 1)^2}{2} - 2(2x + 1) + \frac{7}{4}
\]

Sau đó, tính giá trị của \( g(x) \) trên khoảng \([-1, 1]\).

4. **Tìm giá trị nhỏ nhất của \( g(x) \)** trên đoạn [-1,1]:
- Tính \( g(-1) \) và \( g(1) \).
- Tính đạo hàm \( g'(x) \) và tìm nghiệm của \( g'(x) = 0 \) trong khoảng \([-1, 1]\).

5. **Tính toán** và so sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất.

### Kết quả:
Cần tính tất cả các bước trên một cách chính xác để xác định giá trị nhỏ nhất của \( g(x) \) trong đoạn \([-1, 1]\).

Nếu cần hỗ trợ cụ thể hơn cho từng bước tính toán, bạn có thể yêu cầu.