Cho tam giác ABC cân tại A, gọi H là trung điểm của BC

Chúng ta sẽ thực hiện từng phần của bài toán như sau:

### a. Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH và AH là phân giác góc BAC.

**Chứng minh:**
- Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên AB = AC.
- H là trung điểm của BC, tức là BH = HC.
- Hai tam giác ABH và ACH đều có cạnh AH chung.
- Áp dụng định lý độ dài cạnh:
- AB = AC
- BH = HC
- AH = AH

Từ đó, sử dụng tiêu chí bằng nhau của hai tam giác (cạnh-cạnh-cạnh – C.C.C), chúng ta có:
\[
\triangle ABH \cong \triangle ACH
\]

Khi đó, do hai tam giác này bằng nhau, nên ∠ABH = ∠ACH. Điều này cho thấy rằng AH là phân giác của góc BAC.

### b. Gọi M là trung điểm AB, N là trung điểm AC. Chứng minh HM = HN.

**Chứng minh:**
- M là trung điểm của AB, suy ra AM = MB.
- N là trung điểm của AC, suy ra AN = NC.
- Chúng ta sẽ tính độ dài HM và HN.
- Ta sử dụng tam giác ABH và ACH vừa chứng minh ở phần a, trong đó có:
- AH là phân giác góc BAC.

Thay vì tính độ dài trực tiếp, chúng ta sẽ áp dụng tính chất hình học:
- Xét điểm H, với H là trung điểm của BC thì H chia BC thành hai đoạn đều nhau (BH = HC).
- Suy ra hai tam giác MHB và NHC có AB = AC, các cạnh BH = HC và HM = HN (bởi vì là trung điểm).

Từ hai tam giác MHB và NHC là hai tam giác bằng nhau (SASS), ta có:
\[
HM = HN
\]

### c. Chứng minh NM song song với BC.

**Chứng minh:**
- Từ phần b, chúng ta đã chứng minh HM = HN.
- H là trung điểm của BC, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.

Vì vậy, theo định lý trung bình trong tam giác, đường thẳng MN nối các trung điểm của các cạnh AB và AC thì sẽ song song với cạnh còn lại BC. Cụ thể, theo định lý trung bình, chúng ta có:
\[
MN \parallel BC
\]

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh rằng tam giác ABH = tam giác ACH và AH là phân giác góc BAC, HM = HN, và NM song song với BC.