Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x + 6y, với (x, y) là nghiệm của hệ bất phương trình trên?

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = x + 6y \) với các điều kiện từ hệ bất phương trình đã cho, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình:**
- Từ bất phương trình \( 2x + y \geq 14 \):
- Điều này tương đương với \( y \geq 14 - 2x \).
- Từ bất phương trình \( 2x + 5y \geq 30 \):
- Điều này tương đương với \( 5y \geq 30 - 2x \) hay \( y \geq 6 - \frac{2}{5}x \).
- Các điều kiện biên từ \( 0 \leq x \leq 10 \) và \( 0 \leq y \leq 9 \).

2. **Vẽ đồ thị và xác định điểm giao:**
- Vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình.
- \( y = 14 - 2x \)
- \( y = 6 - \frac{2}{5}x \)

3. **Tìm các điểm giao nhau của các đường thẳng:**
- Giải hệ phương trình:
\[
14 - 2x = 6 - \frac{2}{5}x
\]
- Nhân cả hai vế với 5 để loại bỏ mẫu số:
\[
70 - 10x = 30 - 2x \implies 8x = 40 \implies x = 5
\]
- Thay vào một trong các phương trình để tìm \( y \):
\[
y = 14 - 2(5) = 4 \quad \text{(Điểm giao: (5, 4))}
\]

4. **Xác định các điểm biên của miền và tính giá trị F:**
- Kiểm tra các điểm:
1. \( (0, 6) \) (từ phương trình \( y = 6 - \frac{2}{5}(0) \))
2. \( (10, 0) \)
3. \( (5, 4) \)
4. \( (5, 9) \)
5. Điểm ở biên khác (x=x_max hay y=y_max).

5. **Tính giá trị \( F \) tại các điểm:**
- \( F(0, 6) = 0 + 6(6) = 36 \)
- \( F(10, 0) = 10 + 6(0) = 10 \)
- \( F(5, 4) = 5 + 6(4) = 29 \)
- \( F(5, 9) = 5 + 6(9) = 59 \)

6. **So sánh giá trị F:**
- Giá trị nhỏ nhất là \( 10 \) tại điểm \( (10, 0) \).

**Kết luận:** Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = x + 6y \) trong miền nghiệm là **10** khi \( (x, y) = (10, 0) \).