Để giải bài toán liên quan đến tam giác vuông ∆ABC, chúng ta sẽ xem xét từng câu hỏi theo trình tự.

### Bài 6:

**a) Chứng minh AC // HK**

- Từ H kẻ HM vuông góc với AB, tức là HM ⊥ AB.
- Từ H kẻ HN vuông góc với AC, tức là HN ⊥ AC.
- Do đó, góc AHM là góc vuông và góc AHN cũng là góc vuông.
- Vì HK được kẻ từ A và I là trung điểm của HC, nên đoạn line HK sẽ nằm trên cùng một mặt phẳng chứa hai đoạn vuông góc HM và HN.
- Kết luận: Nếu một đoạn thẳng (AC) vuông góc với hai đoạn thẳng (HM và HN) thì đoạn thẳng đó (AC) sẽ song song với đoạn thẳng (HK) mà H kẻ ra.

**b) Chứng minh MNCK là hình thang cân**

- Chúng ta đã biết rằng MN ⊥ AB và MN ⊥ AC.
- Điều này có nghĩa là MN là một đoạn thẳng nối hai điểm vuông góc với hai cạnh còn lại của tam giác.
- Theo định nghĩa hình thang cân, hai cạnh bên và cạnh đáy phải bằng nhau.
- Do đó, CK và MN song song và bằng nhau. Vì vậy, MNCK là hình thang cân.

**c) Chứng minh AK = 3AD**

- Gọi O là giao điểm của MN và AH, và D là giao điểm của CO và AK.
- Do I là trung điểm của HC, nên AH = h (đường cao) và AO = h/2 = AD.
- Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, chúng ta có AK = 3AD vì K là một điểm trên tia AI.

### Bài 5:

**a) Chứng minh EF = BC/2**

- M là trung điểm của BC. Theo định nghĩa trung điểm, ta có:
\[ BM = MC = \frac{BC}{2} \]
- Kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC, rồi nối các đoạn thẳng này tạo thành một đường thẳng.
- Theo định lý về độ dài cạnh trong tam giác vuông, ta có:
\[ EF = \frac{BC}{2} \]

**b) Chứng minh KMFE là hình thang cân**

- Trong tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC và EF vuông góc với AB và AC.
- Điều này cho thấy rằng các đoạn ME và MF sẽ có độ dài bằng nhau.
- Kết luận rằng KMFE trở thành một hình thang cân bởi vì nó có hai cạnh bên bằng nhau.

Các chứng minh trên đã chỉ ra mối quan hệ giữa các đoạn và các tính chất hình học trong tam giác vuông.