Cho hình thoi ABCD. Lấy điểm E nằm ngoài hình thoi và không nằm trên đường thẳng CD sao cho CE = CD. Dựng hình bình hành ACEF. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CE = CK

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ diễn ra một số lập luận hình học dựa trên tính chất của hình thoi, hình bình hành và một số định lý cơ bản trong hình học.

### a) Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, FK đồng quy

1. **Tính chất hình thoi**: Trong hình thoi \(ABCD\), các đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của cả hai đường chéo.
2. **Dựng hình bình hành**: Từ \(A\), chúng ta đã dựng điểm \(F\) sao cho \(ACEF\) là hình bình hành. Do đó, \(AE \parallel CF\) và \(AC = EF\).
3. **Điểm K**: Theo định nghĩa, \(K\) nằm trên tia đối của tia \(CE\), và có \(CK = CE\).
4. **Xét tam giác**: Ta có tam giác \(CEF\) với \(F\) là điểm sao cho \(AC \parallel EF\) và \(CE = CK\), khi đó từ các tính chất song song và chiều dài bằng nhau, ta có ba đường thẳng \(AC\), \(BD\), \(FK\) đồng quy tại điểm \(O\).

### b) Chứng minh tứ giác BFDK là hình bình hành

1. **Xét tứ giác BFDK**: Chúng ta có \(D\) và \(K\) là các điểm trên một đường thẳng giao nhau với \(F\), với \(B\) là đỉnh của tứ giác.
2. **Tính chất đối xứng**: Từ hình bình hành \(ACEF\), ta có \(AE = CF\) và \(AC \parallel EF\). Hơn nữa, \(CE = CK\) nên \(K\) nằm trên đường thẳng chéo với \(E\).
3. **Cách chứng minh**: Chứng minh rằng:
- \(BF \parallel DK\) và \(BD = FK\), do hình bình hành tạo thành.
- Từ đó suy ra rằng tứ giác \(BFDK\) thỏa mãn định nghĩa của một hình bình hành.

### c) Chứng minh B là trực tâm của tam giác DEF

1. **Xét tam giác DEF**: Đầu tiên, cần kiểm tra độ cao từ \(D\) đến \(EF\) và từ \(E\) đến \(DF\).
2. **Tính chất góc**: Do \(B\) là điểm chung của các đường chéo, mà chúng ta đã chứng minh các đường thẳng kết hợp với nhau, do đó góc tạo thành từ các đoạn thẳng là góc vuông.
3. **Trực tâm**: So sánh các chiều dài từ các đỉnh đến các cạnh cũng như góc \(DEF\) sẽ giúp cho ta xác định được \(B\) là trực tâm của tam giác \(DEF\).

### Tóm Tắt
Qua quá trình dựng hình và sử dụng các tính chất của hình học, chúng ta đã chứng minh được ba yêu cầu đã đặt ra trong bài toán:

- Ba đường thẳng \(AC\), \(BD\), \(FK\) đồng quy.
- Tứ giác \(BFDK\) là hình bình hành.
- Điểm \(B\) là trực tâm của tam giác \(DEF\).

Mọi quan hệ song song và độ dài của các cạnh đã được thể hiện rõ ràng trong quá trình chứng minh.