Tính: A= 1 + 2^2+2^3+...+2^100

Để tính tổng \( A = 1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \), trước tiên, chúng ta có thể tách \( A \) thành hai phần:

\[
A = 1 + (2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100}).
\]

Chúng ta nhận thấy phần trong dấu ngoặc là một chuỗi cấp số nhân. Có thể tính tổng của chuỗi này bằng công thức tổng cấp số nhân.

Giả sử \( S = 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \). Đây là một chuỗi cấp số nhân với:

- \( a = 2^2 = 4 \) (số hạng đầu),
- \( r = 2 \) (công bội),
- Số hạng cuối là \( 2^{100} \).

Số hạng cuối (số hạng thứ \( n \)) của chuỗi này là \( 100 - 2 + 1 = 99 \) hạng.

Ta áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1},
\]

với \( n \) là số hạng trong chuỗi.

Áp dụng vào trường hợp của chúng ta:

\[
S = 4 \frac{2^{99} - 1}{2 - 1} = 4 (2^{99} - 1) = 4 \cdot 2^{99} - 4.
\]

Vậy:

\[
S = 4 \cdot 2^{99} - 4.
\]

Quay lại với \( A \):

\[
A = 1 + S = 1 + (4 \cdot 2^{99} - 4) = 4 \cdot 2^{99} - 3.
\]

Vậy kết quả tính toán là:

\[
A = 4 \cdot 2^{99} - 3.
\]

Đây là giá trị của \( A \).