Chứng minh mnpq + 2025 viết dưới dạng 2 số chính phương

Để chứng minh \(mnpq + 2025\) có thể viết dưới dạng tổng của hai số chính phương cho các số nguyên \(m, n, p, q\) sao cho \(m^2 + n^2 + p^2 = q^2\), ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây.

1. **Tìm hiểu về 2025**:
Đầu tiên, ta cần xác định \(2025\) có thể viết dưới dạng tổng của hai số chính phương không:
\[
2025 = 45^2 = 30^2 + 15^2
\]
Do đó, \(2025\) có thể được viết dưới dạng tổng của hai số chính phương.

2. **Xem xét biểu thức \(mnpq\)**:
Ta nên xem xét điều kiện \(m^2 + n^2 + p^2 = q^2\). Theo định lý của Fermat, nếu \(a^2 + b^2 = c^2\) với \(a, b, c\) là số nguyên dương, thì có thể tồn tại cách viết dưới dạng tổng hai số chính phương.

Bước này sẽ giúp ta kiểm tra sự khả thi của thành phần \(mnpq\) để suy luận về \(mnpq + 2025\).

3. **Sử dụng tính chất số chính phương**:
Theo phương pháp của Lagrange, mọi số nguyên không âm có thể viết dưới dạng tổng của bốn số chính phương. Tuy nhiên, đối với hai số chính phương, có tính chất là nếu một số có thể viết dưới dạng tổng của hai số chính phương, thì tập hợp các số đó vẫn có thể được mở rộng với các số đông đảo.

4. **Xây dựng ví dụ cụ thể**:
Giả sử chúng ta lấy các số nguyên \(m, n\), ví dụ \(m=1\), \(n=2\), \(p=2\), \(q=3\).
Ta có:
\[
m^2 + n^2 + p^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3^2 = q^2
\]
Bây giờ ta tính \(mnpq\):
\[
mnpq = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12
\]
Vậy \(mnpq + 2025 = 12 + 2025 = 2037\).

Sau đó, kiểm tra xem \(2037\) có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số chính phương:
\[
2037 = a^2 + b^2
\]
Bằng cách thử nghiệm các cặp a, b nhỏ.

5. **Kết luận**:
Nếu ta tìm thấy rằng \(mnpq + 2025\) có thể viết dưới dạng tổng của hai số chính phương cho một số nguyên \(m, n, p, q\), kết luận cho định lý này được chứng minh.

Cụ thể, để chứng minh rằng \(mnpq + 2025\) viết dưới dạng 2 số chính phương, ta có thể tiếp tục kiểm tra ngẫu nhiên dựa trên các giá trị cho m, n, p, q, sử dụng các lý thuyết trên đây. Nếu mọi thử nghiệm đều cho kết quả khả thi, ta khẳng định chứng minh thành công.