Bài toán của bạn bao gồm các phần liên quan đến hình học trong hình chữ nhật ABCD. Dưới đây là hướng dẫn giải cho từng phần:

### a) Chứng minh tứ giác AMND là hình chữ nhật
- Để chứng minh tứ giác AMND là hình chữ nhật, cần chỉ ra rằng:
- Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau: \(AM = ND\) và \(AN = MD\).
- Hai cạnh AM và AN vuông góc với nhau (do MN vuông góc với CD).

### b) Tính AC
- Biết \(AD = 3cm\) và \(DM = 5cm\).
- Ta có \(AB = AD + DM = 3cm + 5cm = 8cm\).
- Hai cạnh của hình chữ nhật ABCD được tính theo công thức: \(AC = \sqrt{AB^2 + AD^2}\).
- Tính \(AC\) bằng cách thay giá trị đã biết vào công thức.

### c) Lấy điểm K sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng DK
- Sau khi xác định điểm K, xác minh rằng M là trung điểm của DK là đúng.
- Sau đó, chứng minh tứ giác ADBK là hình bình hành và tam giác AKC là cân.

### d) Chứng minh NI = \(\frac{1}{3} BD\)
- Gọi điểm I là giao điểm của BD với CM (với CM là đường thẳng do M và C là trung điểm).
- Sử dụng tính chất của tam giác và tỉ lệ đoạn thẳng để chứng minh tỷ lệ này.

Nếu cần chi tiết hơn cho từng phần, hãy cho tôi biết!