Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
3(x + 1) - \frac{2}{y - 2} = 4 \\
2(x + 1) + \frac{1}{y - 2} = 5
\end{cases}
\]

**Bước 1: Biến đổi phương trình đầu tiên**

Từ phương trình đầu tiên:

\[
3(x + 1) - 4 = \frac{2}{y - 2}
\]

\[
3(x + 1) - 4 = \frac{2}{y - 2} \implies \frac{2}{y - 2} = 3x + 3 - 4 = 3x - 1
\]

Vậy ta có:

\[
y - 2 = \frac{2}{3x - 1} \implies y = \frac{2}{3x - 1} + 2
\]

**Bước 2: Thay vào phương trình thứ hai**

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:

\[
2(x + 1) + \frac{1}{\left(\frac{2}{3x - 1} + 2\right) - 2} = 5
\]

\[
2(x + 1) + \frac{1}{\frac{2}{3x - 1}} = 5
\]

\[
2(x + 1) + \frac{3x - 1}{2} = 5
\]

**Bước 3: Giải phương trình này**

Giải phương trình:

\[
2(x + 1) = 5 - \frac{3x - 1}{2}
\]

Nhân cả hai vế với 2 để ánh xạ rõ hơn:

\[
4(x + 1) = 10 - (3x - 1)
\]

\[
4x + 4 = 10 - 3x + 1
\]

\[
4x + 3x = 10 + 1 - 4
\]

\[
7x = 7 \implies x = 1
\]

**Bước 4: Tính giá trị của y**

Thay giá trị \( x = 1 \) vào công thức của \( y \):

\[
y = \frac{2}{3(1) - 1} + 2 = \frac{2}{2} + 2 = 1 + 2 = 3
\]

**Kết quả:**

Giải hệ phương trình cho được:

\[
(x, y) = (1, 3)
\]