Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, B = 60 độ. Đường tròn tâm I, đường kính AB cắt BC ở D. Chứng minh AD vuông góc với BC. Chứng minh đường tròn tâm K đường kính AC đi qua D. Tính độ dài cung nhỏ BD của đường tròn tâm I (đường kính AB)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu.

### a) Chứng minh AD vuông góc với BC

- Tam giác ABC vuông tại A, với \( AB = 5cm \) và \( \angle B = 60° \).
- Do đó, \( \angle C \) sẽ tính được bằng:
\[
\angle C = 90° - \angle B = 90° - 60° = 30°
\]
- Theo định lý về đường kính của đường tròn, nếu điểm D là giao điểm của đường kính AB (tâm I) và cạnh BC thì độ dài AD (đường vuông góc với BC tại D) sẽ tạo thành một góc 90°.
- Vậy, \( \angle ADB = 90° \), suy ra \( AD \perp BC \).

### b) Chứng minh đường tròn tâm K đường kính AC đi qua D

1. Đường tròn K có đường kính AC, nên bán kính KA = KC.
2. Từ kết quả phần a, ta đã chứng minh rằng \( AD \perp BC \). Điều này cho thấy rằng điểm D nằm trên đường cao từ A đến BC.
3. Trong tam giác vuông ABC, điểm D nằm trên đường thẳng BC. Do đó, đường thẳng AD là độ cao từ A.
4. Vì AD vuông góc với BC và D thuộc cạnh BC, nên nhận thấy rằng K là trung điểm của AC.
5. Khi đó, suy ra rằng AC là đường kính của đường tròn tâm K và đi qua điểm D (vì mọi điểm lie trên đường tròn k đều thỏa mãn định lý cho các đường kính).

### c) Tính độ dài cung nhỏ BD của đường tròn tâm I (đường kính AB)

- Đường kính AB = 5cm, do đó bán kính \( R = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2.5cm \).
- Cung BD là một phần của đường tròn với trung điểm I là tâm và có độ lớn của góc ADB.
- Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên \( \angle ADB = 90° \).
- Độ dài cung nhỏ BD trên đường tròn được tính bằng công thức từ góc ở tâm:
\[
L_{BD} = \frac{\theta}{360°} \cdot 2\pi R
\]
Trong đó, \( \theta = 90° \) và \( R = 2.5 \) cm, ta có:
\[
L_{BD} = \frac{90°}{360°} \cdot 2\pi (2.5) = \frac{1}{4} \cdot 2\pi (2.5) = \frac{5\pi}{4} \text{ cm}
\]

### Kết luận
- a) \( AD \) vuông góc với \( BC \).
- b) Đường tròn tâm K đường kính AC đi qua D.
- c) Độ dài cung nhỏ BD của đường tròn tâm I là \( \frac{5\pi}{4} \) cm.