Để chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai cạnh đối diện AM và NH, AN và HM đều vuông góc với nhau.

**Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật:**

1. **Căn cứ vào tính vuông góc:**
- Ta đã có \( HM \perp AB \) và \( HN \perp AC \).
- Điều này có nghĩa là:
- \( \angle HMA = 90^\circ \) (vì HM vuông góc với AB)
- \( \angle HNA = 90^\circ \) (vì HN vuông góc với AC)

2. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông:**
- Từ điểm H, kẻ đường cao AH, do đó:
- \( AH \) vuông góc với \( BC \) (huyền của tam giác vuông ABC).
- Ta có điểm H nằm trong tam giác vuông ABC, vì vậy:
- Từ H, kẻ đường thẳng vuông góc đến hai cạnh AB và AC tạo thành các điểm M và N.

3. **Chứng minh đồng dạng:**
- Ta có hai tam giác \( AHM \) và \( AHN \) đều vuông tại H, do đó bằng nhau về góc.
- \( AH \) là chung, suy ra \( AM = AN \).

4. **Vuông góc các cạnh:**
- Tứ giác AMHN có các cạnh AM và NH vuông góc với nhau (từ các kết quả trên).
- Tương tự, AN và HM cũng vuông góc với nhau.

Kết luận: Do tứ giác AMHN có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau, nên tứ giác AMHN là hình chữ nhật.