Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm trên \( R \). Số giá trị nguyên của \( m \) thuộc đoạn \([-10;10]\) để hàm số \( y = |f(f(x)) - 2023f(x) - 1000| \) đồng biến trên khoảng \( (1;3) \)

Để xác định số giá trị nguyên của \( m \) trong đoạn \([-10;10]\) sao cho hàm số \( y = |f(f(x)) - 2023f(x) - 1000m| \) đồng biến trên khoảng \( (1;3) \), ta cần xem xét các điều kiện đồng biến của hàm số.

1. **Phân tích hàm số**:
Hàm số \( y \) có dạng \( |g(x)| \) với \( g(x) = f(f(x)) - 2023f(x) - 1000m \). Để hàm \( y \) đồng biến, \( g(x) \) phải thỏa mãn một trong các điều kiện:
- \( g(x) \geq 0 \) và \( g'(x) \geq 0 \) trên \( (1;3) \)
- \( g(x) \leq 0 \) và \( g'(x) \leq 0 \) trên \( (1;3) \)

2. **Điều kiện đồng biến**:
Cách nhìn này dẫn đến việc riêng biệt quản lý \( g'(x) \):
\[
g'(x) = f'(f(x))f'(x) - 2023f'(x)
\]
Từ đó, ta có:
\[
g'(x) = f'(x) \left( f'(f(x)) - 2023 \right)
\]

Để hàm đồng biến, cần:
- \( f'(x) \geq 0 \) và \( f'(f(x)) - 2023 \geq 0 \) hoặc
- \( f'(x) \leq 0 \) và \( f'(f(x)) - 2023 \leq 0 \)

3. **Tìm giá trị \( m \)**:
Phân tích điều kiện \( g(x) = 0 \) và giải cho \( m \):
- Từ \( 2023f(x) + 1000m = f(f(x)) \), tìm các giá trị \( m \)'s sao cho điều kiện này giữ giá trị phù hợp trong đoạn \([-10;10]\).

4. **Giải cụ thể**:
Từ điều kiện trên, ta phân tích các giá trị ở biên và tìm ra các giá trị phù hợp.
- Tại các điểm \( x = 1 \) và \( x = 3 \), ta tính giá trị của \( g(1) \) và \( g(3) \) và tìm \( m \) cho thỏa mãn.

Sau quá trình tính toán và tìm kiếm giá trị phù hợp, ta sẽ thấy các giá trị \( m \) nguyên trong đoạn \([-10;10]\) mà thỏa mãn điều kiện.

Cụ thể, bạn có thể tính các giá trị này và đếm kết quả. Thường thì, sau khi thực hiện các bước này, số giá trị nguyên \( m \) thỏa mãn có thể sẽ là một khoảng nhất định, chẳng hạn như từ -10 đến 10.

Bạn không quên kiểm tra kĩ các lần phân tích để chắc chắn số nghi vấn của bạn là chính xác, sau đó đưa ra kết luận cuối cùng về số giá trị nguyên của \( m \).