Tìm số thực a sao cho lim \(\frac{an+\sqrt{n^2+n+3}}{2n-1} = 5\)

Để tìm số thực \( a \) sao cho \( \lim_{n \to +\infty} \frac{an + \sqrt{n^2 + n + 3}}{2n - 1} = 5 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích biểu thức dưới dấu giới hạn**:
\[
\sqrt{n^2 + n + 3} = \sqrt{n^2(1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2})} = n\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}}.
\]

Khi \( n \to +\infty \), \( \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}} \) tiệm cận 1, do đó:
\[
\sqrt{n^2 + n + 3} \sim n \text{ khi } n \to +\infty.
\]

2. **Biểu thức giới hạn trở thành**:
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{an + n}{2n - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(a + 1)n}{2n - 1}.
\]

3. **Chia cả tử và mẫu cho \( n \)**:
\[
= \lim_{n \to +\infty} \frac{a + 1}{2 - \frac{1}{n}}.
\]

4. **Khi \( n \to +\infty \)**, \( \frac{1}{n} \) tiệm cận 0, do đó giới hạn trở thành:
\[
= \frac{a + 1}{2}.
\]

5. **Đặt giới hạn này bằng 5**:
\[
\frac{a + 1}{2} = 5.
\]

6. **Giải phương trình**:
\[
a + 1 = 10 \implies a = 9.
\]

Vậy, số thực \( a \) cần tìm là \( \boxed{9} \).