Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành và BH = CK. Chứng minh M là trung điểm của FQ. Chứng minh EF vông góc với EQ

Để chứng minh các tính chất mà bạn yêu cầu, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành và BH = CK:

1. **Xét tứ giác BHCK**: Theo giả thiết, ta có MH = MK. Do đó, K được xác định ngoại tiếp trên đường tiếp tuyến của MH tại M.

2. **Vị trí của các điểm**: Ta có điểm B cố định và điểm C cũng cố định. Do đó, điểm H nằm trên đoạn thẳng BE và rung theo hướng xuống, còn điểm K nằm trên đoạn thẳng dùng để tạo ra hình đối xứng của điểm H với M, tức là trên đoạn thẳng MH.

3. **Chứng minh BH = CK**:
- Ta có \( MH = MK \). Khi đó, \( BH = MH \) và \( CK = MK \) => \( BH = MK \) => \( BH = CK \) vì \( H \) và \( K \) nằm trên đường thẳng và có cùng khoảng cách từ M.

4. **Chứng minh BHCK là hình bình hành**:
- Tứ giác BHCK có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau: BH = CK và BH = CK. Do đó, theo định nghĩa, tứ giác này là hình bình hành.

### b) Chứng minh M là trung điểm của FQ:

1. **Xét đường chéo FQ**: Theo định nghĩa, M là trung điểm của đoạn BC.

2. **Chứng minh FQ đi qua M**:
- Vì K là một điểm trên đường thẳng kéo dài từ H, và BH = CK, ta có thể xác định rằng F cũng là một điểm trên đường thẳng với các đoạn thẳng EF và EQ. Như vậy, điểm M cũng thuộc đoạn thẳng FQ.
- Do đó, M là trung điểm của đường thẳng FQ.

### c) Chứng minh EF vuông góc với EQ:

1. **Xét 3 điểm E, F, Q**: Ta có hai điểm E, F nằm trên đường chéo của tam giác và điểm Q nằm trên đường do K xác định.

2. **Sử dụng sự vuông góc**:
- Từ điểm H, các đường cao BE, CF cắt nhau tại H và tạo thành các góc vuông.
- Các cạnh tương ứng EF sẽ đi qua điểm F và tạo ra góc vuông với EQ khi vuông góc với các cạnh của tam giác.

3. **Kết luận**: Do đó, \( EF \perp EQ \).

Tối sự thực hiện của ba phần trong bài toán, các đặc điểm hình học đã chứng minh cho tứ giác BHCK là một hình bình hành với các điểm M, E, F và Q có đầy đủ tính chất như yêu cầu.