Để giải bài toán này, ta sẽ đặt diện tích đất trồng dưa hấu là \( x \) mét vuông. Theo đề bài, diện tích đất trồng rau sẽ là \( \frac{4}{5}x \) mét vuông.

Tổng diện tích đất của bác An là 1 hecta 350 mét vuông, tức là:

\[
1 \text{ hecta} = 10,000 \text{ m}^2
\]
\[
1 \text{ hecta} 350 \text{ m}^2 = 10,000 + 350 = 10,350 \text{ m}^2
\]

Ta có phương trình:

\[
\text{Diện tích đất trồng rau} + \text{Diện tích đất trồng dưa hấu} = 10,350 \text{ m}^2
\]
\[
\frac{4}{5}x + x = 10,350
\]

Giải phương trình trên:

\[
\frac{4}{5}x + \frac{5}{5}x = 10,350
\]
\[
\frac{9}{5}x = 10,350
\]
\[
x = 10,350 \times \frac{5}{9}
\]
\[
x = \frac{51,750}{9} = 5,750 \text{ m}^2
\]

Vậy diện tích đất trồng dưa hấu của bác An là **5,750 mét vuông**.