Chứng minh A = \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots + \frac{1}{3^{2022}} + \frac{1}{3^{2023}} < \frac{1}{2}\)

Chúng ta có thể tính toán tổng A = \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots + \frac{1}{3^{2023}}\) như sau. Đây là một chuỗi số học với công sai chung là \(\frac{1}{3}\).

### Bước 1: Tính tổng A

Tổng A là tổng của một chuỗi geometric (hình học):

\[
A = \sum_{n=1}^{2023} \frac{1}{3^n}
\]

Công thức tổng của một chuỗi hình học là:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \(a\) là số hạng đầu tiên (\(\frac{1}{3}\))
- \(r\) là tỷ số (\(\frac{1}{3}\))
- \(n\) là số hạng cuối cùng (\(2023\))

Áp dụng công thức, chúng ta có:

\[
A = \frac{1/3 \left(1 - (1/3)^{2023}\right)}{1 - 1/3}
\]

### Bước 2: Tính giá trị A

Tính mẫu số:

\[
1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]

Do đó, A sẽ trở thành:

\[
A = \frac{1/3 \left(1 - \frac{1}{3^{2023}}\right)}{\frac{2}{3}} = \frac{1 - \frac{1}{3^{2023}}}{2}
\]

### Bước 3: So sánh với \(\frac{1}{2}\)

Bây giờ chúng ta có A:

\[
A = \frac{1 - \frac{1}{3^{2023}}}{2} < \frac{1}{2}
\]

Vì \(\frac{1}{3^{2023}} > 0\), điều này chứng minh rằng:

\[
1 - \frac{1}{3^{2023}} < 1 \implies A < \frac{1}{2}
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng:

\[
A < \frac{1}{2}
\]

Vậy A thỏa mãn bất đẳng thức đề ra.