Để phân tích các mệnh đề trong bài toán về hình chóp đều \( S.ABCD \) với các cạnh đều bằng \( a \), ta sẽ xem xét từng mệnh đề:

a) **Tứ giác \( ABCD \) là hình vuông.**
Mệnh đề này đúng. Trong hình chóp đều có đáy là tứ giác đều, nên \( ABCD \) là hình vuông.

b) **Góc giữa các vectơ \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \) và \( \overrightarrow{AD} \) không cùng nằm trong một mặt phẳng.**
Mệnh đề này sai. Các vectơ \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \) và \( \overrightarrow{AD} \) đều thuộc mặt phẳng \( SBCD \).

c) **\( (SB, BD) = 45° \)**
Mệnh đề này đúng. Vì \( SB \) là cạnh bên và \( BD \) là đường chéo trong hình vuông \( ABCD \) nên góc này có thể được tính là 45°.

d) **\( SB \cdot BD = a^2 \)**
Mệnh đề này đúng. \( SB = a \) và \( BD = a\sqrt{2} \) (do là đường chéo của hình vuông), vậy \( SB \cdot BD = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2} \), nên mệnh đề sai.

Tóm lại:
- a) Đúng
- b) Sai
- c) Đúng
- d) Sai