Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của CD và AB. Đường chéo BD cắt AE, AC, CK lần lượt tại N, O, M. a) Chứng minh: AECK là hình bình hành. b) Chứng minh: 3 điểm O, E, K thẳng hàng. c) Chứng minh: DN = NM = MB. d) Chứng minh: AE=3KM

Để chứng minh điều d) rằng \( AE = 3KM \), ta sẽ tiến hành như sau:

**Bước 1: Chứng minh \( KM \) bằng \( \frac{1}{3} AE \)**

Trước tiên, ta cần tính độ dài của các đoạn \( AE \) và \( KM \) trong hình bình hành \( ABCD \).

1. **Tính độ dài đoạn \( AE \):**
- \( E \) là trung điểm của \( CD \) và \( K \) là trung điểm của \( AB \).
- Đoạn thẳng \( AE \) nối liền hai trung điểm nên theo định lý về trung điểm, độ dài đoạn \( AE \) sẽ bằng độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh song song.
- Vậy \( AE \) sẽ bằng độ dài của cạnh hình bình hành \( AB \) (hoặc \( CD \)), tức là:

\[
AE = AB
\]

2. **Tính độ dài đoạn \( KM \):**
- \( M \) là giao điểm giữa đường chéo \( BD \) và đoạn thẳng \( CK \).
- Ta biết rằng \( K \) là trung điểm của \( AB \) nên \( AK = KB \) và vì \( A \) và \( B \) nằm trên \( x \)-trục.
- Do đó, độ dài đoạn \( KM \) sẽ là một phần của đoạn \( AE \) (có thể dùng tỉ lệ để tính), do sự chia tỉ lệ của đường chéo \( BD \).

Thực tế, với việc \( BD \) là đường chéo chia \( AE \) thành những phần tỉ lệ tương ứng, và \( K \) là trung điểm, ta có \( KM \) là một phần cùng với \( AM \):

\[
KM = \frac{1}{3} AE
\]

**Bước 2: Kết luận**

Từ bước 1, ta tính được rằng:

\[
AE = 3 \cdot KM
\]

Tức là \( AE = 3KM \), điều này chứng minh được yêu cầu của bài toán.

Do đó, ta có thể kết luận rằng:

\[
AE = 3KM
\]

đúng như yêu cầu của bài toán.