Để hàm số \( f(x) \) có đúng một điểm cực trị, chúng ta cần phân tích hàm đạo hàm bậc ba \( f'(x) = x^2 (x + 1)(x^2 + 2mx + 5) \).

1. **Điểm cực trị**: Để tìm điểm cực trị, ta xem xét các hệ số của \( f'(x) \). Để hàm này có đúng một nghiệm, một trong các yếu tố trong \( f'(x) \) phải bằng 0.

2. **Các nhân tử**:
- \( x^2 \): có nghiệm tại \( x = 0 \) với bội số 2 (hàm số có một cực trị tại \( x = 0 \)).
- \( x + 1 = 0 \): có nghiệm tại \( x = -1 \) (hàm số có một cực trị tại \( x = -1 \)).
- Để hàm số chỉ có một điểm cực trị, biểu thức \( x^2 + 2mx + 5 \) phải có nghiệm thực duy nhất, nghĩa là:
\[
\Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4m^2 - 20.
\]
Để có nghiệm duy nhất, ta cần:
\[
\Delta = 0 \implies 4m^2 - 20 = 0 \implies m^2 = 5 \implies m = \pm \sqrt{5}.
\]

3. **Giá trị nguyên của \( m \)**: Tuy nhiên, giá trị \( \sqrt{5} \) không phải là một số nguyên. Tương tự, \( -\sqrt{5} \) cũng không phải là số nguyên. Do đó, không có giá trị nguyên nào phù hợp.

Vậy tổng số giá trị nguyên của \( m \) để hàm số \( f(x) \) có đúng một điểm cực trị là:

\[
\boxed{0}.
\]